જો $A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}3 & -1 & 1 \\ -15 & 6 & -5 \\ 5 & -2 & 2\end{array}\right]$ અને $B=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 0 & -2 & 1\end{array}\right],$ હોય,તો $(AB)^{-1}$ શોધો.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$.
પ્રથમ,આપણે $B^{-1}$ ની ગણતરી કરીએ. આપણે જાણીએ છીએ કે $B^{-1} = \frac{1}{|B|} \text{adj}(B)$,જે ત્યારે જ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જો $|B| \neq 0$ હોય.
$|B|$ ની ગણતરી:
$|B| = \left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & -2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 0 & -2 & 1\end{array}\right| = 1(3-0) - 2(-1-0) - 2(2-0) = 3 + 2 - 4 = 1$.
કારણ કે $|B| = 1 \neq 0$,તેથી $B^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
$\text{adj}(B)$ ની ગણતરી:
દરેક ઘટક માટે સહઅવયવ $A_{ij}$ શોધીને સહઅવયવ શ્રેણિક મેળવવામાં આવે છે.
$A_{11} = 3, A_{12} = 1, A_{13} = 2$
$A_{21} = 2, A_{22} = 1, A_{23} = 2$
$A_{31} = 6, A_{32} = 2, A_{33} = 5$
આમ,$\text{adj}(B) = \left[\begin{array}{ccc}3 & 2 & 6 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 5\end{array}\right]$.
$|B| = 1$ હોવાથી,$B^{-1} = \text{adj}(B) = \left[\begin{array}{ccc}3 & 2 & 6 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 5\end{array}\right]$.
હવે,$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}3 & 2 & 6 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 5\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}3 & -1 & 1 \\ -15 & 6 & -5 \\ 5 & -2 & 2\end{array}\right]$.
શ્રેણિક ગુણાકાર કરતા:
$(AB)^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}9-30+30 & -3+12-12 & 3-10+12 \\ 3-15+10 & -1+6-4 & 1-5+4 \\ 6-30+25 & -2+12-10 & 2-10+10\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}9 & -3 & 5 \\ -2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2\end{array}\right]$.