यदि $e^{y}(x+1)=1$ है,तो दर्शाइए कि $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}$.

दिया गया संबंध $e^{y}(x+1)=1$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$y + \ln(x+1) = \ln(1) = 0$
$y = -\ln(x+1)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x+1}$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -\left(-\frac{1}{(x+1)^{2}}\right) = \frac{1}{(x+1)^{2}}$
चूंकि $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x+1}$,इसलिए $\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2} = \left(-\frac{1}{x+1}\right)^{2} = \frac{1}{(x+1)^{2}}$.
अतः,$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}$.
इति सिद्धम्।