यदि cot ^{-1}(alpha)=cot ^{-1} 2+cot ^{-1} 8+ | vedclass

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Question

(A) दी गई श्रेणी $\sum_{n=1}^{100} \cot^{-1}(2n^2)$ है।सर्वसमिका $\cot^{-1}(x) = 	an^{-1}(\frac{1}{x})$ का उपयोग करने पर,हमें $\sum_{n=1}^{100} 	an^

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$1.01$

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(A) दी गई श्रेणी $\sum_{n=1}^{100} \cot^{-1}(2n^2)$ है।सर्वसमिका $\cot^{-1}(x) = 	an^{-1}(\frac{1}{x})$ का उपयोग करने पर,हमें $\sum_{n=1}^{100} 	an^{-1}(\frac{1}{2n^2})$ प्राप्त होता है।अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर,$\sum_{n=1}^{100} 	an^{-1}(\frac{2}{4n^2})$ प्राप्त होता है।इसे $\sum_{n=1}^{100} 	an^{-1}(\frac{(2n+1)-(2n-1)}{1+(2n+1)(2n-1)})$ के रूप में लिखा जा सकता है।$	an^{-1}(x) - 	an^{-1}(y) = 	an^{-1}(\frac{x-y}{1+xy})$ सूत्र का उपयोग करने पर,योग $\sum_{n=1}^{100} (	an^{-1}(2n+1) - 	an^{-1}(2n-1))$ हो जाता है।यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $(	an^{-1} 3 - 	an^{-1} 1) + (	an^{-1} 5 - 	an^{-1} 3) + \dots + (	an^{-1} 201 - 	an^{-1} 199)$.पदों के कटने के बाद,हमारे पास $	an^{-1} 201 - 	an^{-1} 1$ शेष बचता है।पुनः सूत्र का उपयोग करने पर,$	an^{-1}(\frac{201-1}{1+201 	imes 1}) = 	an^{-1}(\frac{200}{202}) = 	an^{-1}(\frac{100}{101})$.अतः $\cot^{-1}(\alpha) = 	an^{-1}(\frac{101}{100})$,जिसका अर्थ है $\alpha = \frac{101}{100} = 1.01$।

यदि $\cot ^{-1}(\alpha)=\cot ^{-1} 2+\cot ^{-1} 8+\cot ^{-1} 18+\cot ^{-1} 32+\ldots$ $100$ पदों तक है,तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

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