જો $p$ અને $q$ એ ઉગમબિંદુથી રેખાઓ $x \cos \theta - y \sin \theta = k \cos 2 \theta$ અને $x \sec \theta + y \csc \theta = k$ પર દોરેલા લંબની લંબાઈ હોય,તો સાબિત કરો કે $p^{2} + 4q^{2} = k^{2}$.

આપેલ રેખાઓના સમીકરણો:
$x \cos \theta - y \sin \theta = k \cos 2 \theta$ ..... $(1)$
$x \sec \theta + y \csc \theta = k$ ..... $(2)$
બિંદુ $(x_{1}, y_{1})$ થી રેખા $Ax + By + C = 0$ ના લંબ અંતર $(d)$ નું સૂત્ર $d = \frac{|Ax_{1} + By_{1} + C|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$ છે.
રેખા $(1)$ માટે,$A = \cos \theta, B = -\sin \theta, C = -k \cos 2 \theta$. ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી લંબ અંતર $p$:
$p = \frac{|-k \cos 2 \theta|}{\sqrt{\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta}} = |k \cos 2 \theta|$
$p^{2} = k^{2} \cos^{2} 2 \theta$ ..... $(3)$
રેખા $(2)$ માટે,$A = \sec \theta, B = \csc \theta, C = -k$. ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી લંબ અંતર $q$:
$q = \frac{|-k|}{\sqrt{\sec^{2} \theta + \csc^{2} \theta}} = \frac{|k|}{\sqrt{\frac{1}{\cos^{2} \theta} + \frac{1}{\sin^{2} \theta}}} = |k \sin \theta \cos \theta|$
$q = |k \frac{\sin 2 \theta}{2}|$
$4q^{2} = k^{2} \sin^{2} 2 \theta$ ..... $(4)$
$(3)$ અને $(4)$ નો સરવાળો કરતા:
$p^{2} + 4q^{2} = k^{2} \cos^{2} 2 \theta + k^{2} \sin^{2} 2 \theta = k^{2}$.
આમ,$p^{2} + 4q^{2} = k^{2}$ સાબિત થાય છે.