यदि $n$ वस्तुओं को एक पंक्ति में व्यवस्थित किया जाता है,तो इनमें से तीन वस्तुओं को चुनने के तरीकों की संख्या क्या है ताकि उनमें से कोई भी दो एक-दूसरे के बगल में न हों?

$12$ बिंदुओं के एक समूह से शीर्षों का चयन करके बनाए जा सकने वाले त्रिभुजों की संख्या ज्ञात कीजिए,जिनमें से $7$ बिंदु एक ही सीधी रेखा पर स्थित हैं।

सभी त्रिभुजों $OPQ$ के समुच्चय पर विचार करें जहाँ $O$ मूलबिंदु है और $P$,$Q$ समतल में गैर-ऋणात्मक पूर्णांक निर्देशांक $(x, y)$ वाले भिन्न बिंदु हैं,ताकि $5x + y = 99$ हो। ऐसे भिन्न त्रिभुजों की संख्या ज्ञात कीजिए जिनका क्षेत्रफल एक धनात्मक पूर्णांक है।

मान लीजिए कि एक गोलाकार स्टेडियम की सीमा पर समान ऊंचाई के $20$ स्तंभ खड़े किए गए हैं। यदि प्रत्येक स्तंभ के शीर्ष को उसके सभी गैर-आसन्न (non-adjacent) स्तंभों के शीर्ष से बीम द्वारा जोड़ा जाता है,तो बीम की कुल संख्या क्या है?

$1, 2, 3, 4, 3, 2, 1$ अंकों का उपयोग करके कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं ताकि विषम अंक हमेशा विषम स्थानों पर ही रहें?

$1, 2, 3, 4, \dots, 200$ संख्याओं से सभी संभावित दो-गुणनखंड उत्पाद बनाए जाते हैं। प्राप्त कुल उत्पादों में से $5$ के गुणज वाले उत्पादों की संख्या क्या है?