यदि a in R और समीकरण -3(x - [x])^2 + 2(x - [x | vedclass

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Question

(A) दिया गया समीकरण $-3(x - [x])^2 + 2(x - [x]) + a^2 = 0$ है।माना $t = x - [x] = \{x\}$,जहाँ $0 \leq t < 1$ है।समीकरण $-3t^2 + 2t + a^2 = 0$ या $3t^2

Vedclass · Accepted Answer

$(-1, 0) \cup (0, 1)$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया समीकरण $-3(x - [x])^2 + 2(x - [x]) + a^2 = 0$ है।माना $t = x - [x] = \{x\}$,जहाँ $0 \leq t समीकरण $-3t^2 + 2t + a^2 = 0$ या $3t^2 - 2t - a^2 = 0$ बन जाता है।द्विघात सूत्र का उपयोग करके $t$ के लिए हल करने पर: $t = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(3)(-a^2)}}{2(3)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12a^2}}{6} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 3a^2}}{3}$ प्राप्त होता है।चूंकि $t = \{x\}$,इसलिए $0 \leq t स्थिति $1$: $t = \frac{1 + \sqrt{1 + 3a^2}}{3}$। $t स्थिति $2$: $t = \frac{1 - \sqrt{1 + 3a^2}}{3}$। चूंकि $\sqrt{1 + 3a^2} \geq 1$,इसलिए $t \leq 0$ है। $t$ के एक मान्य भिन्नात्मक भाग होने के लिए,$t$ को $0$ होना चाहिए (जो $x$ के पूर्णांक होने के अनुरूप है)। यदि $t=0$,तो $a^2=0$,अर्थात $a=0$। यदि $a=0$ है,तो पूर्णांक हल प्राप्त होते हैं। पूर्णांक हल न होने के लिए हमें $a=0$ को हटाना होगा।अतः,$a \in (-1, 0) \cup (0, 1)$।

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