यदि alpha_1

Question

(D) माना $f(x) = (x - \alpha_1)(x - \alpha_3)(x - \alpha_5) + 3(x - \alpha_2)(x - \alpha_4)(x - \alpha_6)$.हम दिए गए बिंदुओं पर $f(x)$ का मान ज्ञात कर

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$(-\infty, \alpha_1)$ में कोई वास्तविक मूल नहीं है

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(D) माना $f(x) = (x - \alpha_1)(x - \alpha_3)(x - \alpha_5) + 3(x - \alpha_2)(x - \alpha_4)(x - \alpha_6)$.हम दिए गए बिंदुओं पर $f(x)$ का मान ज्ञात करते हैं:$f(\alpha_1) = 0 + 3(\alpha_1 - \alpha_2)(\alpha_1 - \alpha_4)(\alpha_1 - \alpha_6)$. चूँकि $\alpha_1 $f(\alpha_2) = (\alpha_2 - \alpha_1)(\alpha_2 - \alpha_3)(\alpha_2 - \alpha_5) + 0 = (+)(-)(-) = + > 0$.चूँकि $f(\alpha_1)  0$,$(\alpha_1, \alpha_2)$ में कम से कम एक वास्तविक मूल है।$f(\alpha_3) = 0 + 3(\alpha_3 - \alpha_2)(\alpha_3 - \alpha_4)(\alpha_3 - \alpha_6) = 3(+)(-)(-) = + > 0$.$f(\alpha_4) = (\alpha_4 - \alpha_1)(\alpha_4 - \alpha_3)(\alpha_4 - \alpha_5) + 0 = (+)(+)(-) = - चूँकि $f(\alpha_3) > 0$ और $f(\alpha_4) $f(\alpha_5) = 0 + 3(\alpha_5 - \alpha_2)(\alpha_5 - \alpha_4)(\alpha_5 - \alpha_6) = 3(+)(+)(-) = - $f(\alpha_6) = (\alpha_6 - \alpha_1)(\alpha_6 - \alpha_3)(\alpha_6 - \alpha_5) + 0 = (+)(+)(+) = + > 0$.चूँकि $f(\alpha_5)  0$,$(\alpha_5, \alpha_6)$ में कम से कम एक वास्तविक मूल है।जैसे $x 	o -\infty$,$f(x) 	o -\infty$. चूँकि $f(\alpha_1) < 0$,हम अंतराल $(-\infty, \alpha_1)$ की जाँच करते हैं। यह एक त्रिघात बहुपद है। यह $(\alpha_1, \alpha_2)$,$(\alpha_3, \alpha_4)$,और $(\alpha_5, \alpha_6)$ प्रत्येक अंतराल में कम से कम एक बार x-अक्ष को काटता है। त्रिघात होने के कारण,इसके कुल $3$ वास्तविक मूल हैं। अतः,$(-\infty, \alpha_1)$ में कोई मूल नहीं है।

यदि $\alpha_1 < \alpha_2 < \alpha_3 < \alpha_4 < \alpha_5 < \alpha_6$ है,तो समीकरण $(x - \alpha_1)(x - \alpha_3)(x - \alpha_5) + 3(x - \alpha_2)(x - \alpha_4)(x - \alpha_6) = 0$ के लिए :-

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