જો ${S_k}$ એ સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ $k$ પદોનો સરવાળો દર્શાવતું હોય,જેનું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે,તો ${S_{kn}}/{S_n}$ એ $n$ થી સ્વતંત્ર હોય જો:

જો ${x_r} = \cos(\pi/3^r) - i\sin(\pi/3^r)$ (જ્યાં $i = \sqrt{-1}$),તો $x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdots \infty$ ની કિંમત શોધો.

એક $A.P.$ નું $4$થું પદ તેના પ્રથમ પદ કરતા $3$ ગણું છે અને સાતમું પદ એ ત્રીજા પદના બમણા કરતા $1$ વધારે છે. પ્રથમ પદ અને સામાન્ય તફાવત શોધો.

ધારો કે $S_1, S_2, \dots$ એવા ચોરસ છે કે જેથી દરેક $n \ge 1$ માટે,$S_n$ ની બાજુની લંબાઈ એ $S_{n+1}$ ના વિકર્ણની લંબાઈ જેટલી હોય. જો $S_1$ ની બાજુની લંબાઈ $10 \text{ cm}$ હોય,તો $n$ ની નીચેનામાંથી કઈ કિંમત માટે $S_n$ નું ક્ષેત્રફળ $1 \text{ cm}^2$ કરતા ઓછું થાય?

જો $m$ એ બે ભિન્ન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $l$ અને $n$ $(l, n > 1)$ નો સમાંતર મધ્યક $(A.M.)$ હોય અને $G_1, G_2$ તથા $G_3$ એ $l$ અને $n$ વચ્ચેના ત્રણ સમગુણોત્તર મધ્યકો હોય,તો $G_1^4 + 2G_2^4 + G_3^4$ ની કિંમત શોધો:

$2 + 5 + 8 + \dots$ શ્રેણીના $50$ પદો અને $3 + 5 + 7 + 9 + \dots$ શ્રેણીના $60$ પદો વચ્ચે સામાન્ય પદોની સંખ્યા કેટલી છે?