यदि {a_1}, {a_2}, {a_3}, dots, {a_n} हरात्मक | vedclass

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Question

(C) चूंकि ${a_1}, {a_2}, {a_3}, \dots, {a_n}$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं,इसलिए उनके व्युत्क्रम $\frac{1}{a_1}, \frac{1}{a_2}, \dots, \frac{1}{a_n

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$(n - 1){a_1}{a_n}$

Vedclass · Answer

(C) चूंकि ${a_1}, {a_2}, {a_3}, \dots, {a_n}$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं,इसलिए उनके व्युत्क्रम $\frac{1}{a_1}, \frac{1}{a_2}, \dots, \frac{1}{a_n}$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में होंगे।माना इस $A.P.$ का सार्व अंतर $d$ है।तब,$\frac{1}{a_{k+1}} - \frac{1}{a_k} = d$,जिसका अर्थ है $\frac{a_k - a_{k+1}}{a_k a_{k+1}} = d$,या $a_k - a_{k+1} = d(a_k a_{k+1})$।इसे $k=1$ से $n-1$ तक जोड़ने पर:$\sum_{k=1}^{n-1} (a_k - a_{k+1}) = d \sum_{k=1}^{n-1} (a_k a_{k+1})$$(a_1 - a_2) + (a_2 - a_3) + \dots + (a_{n-1} - a_n) = d \sum_{k=1}^{n-1} (a_k a_{k+1})$$a_1 - a_n = d \sum_{k=1}^{n-1} (a_k a_{k+1})$$A.P.$ के लिए,$n$-वां पद $\frac{1}{a_n} = \frac{1}{a_1} + (n-1)d$ है,इसलिए $d = \frac{1/a_n - 1/a_1}{n-1} = \frac{a_1 - a_n}{(n-1)a_1 a_n}$।$d$ का मान योग के समीकरण में रखने पर:$a_1 - a_n = \frac{a_1 - a_n}{(n-1)a_1 a_n} \sum_{k=1}^{n-1} (a_k a_{k+1})$$\sum_{k=1}^{n-1} (a_k a_{k+1}) = (n-1)a_1 a_n$।

यदि ${a_1}, {a_2}, {a_3}, \dots, {a_n}$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं,तो ${a_1}{a_2} + {a_2}{a_3} + \dots + {a_{n-1}}{a_n}$ का मान क्या होगा?

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