यदि x, y, z in R^+ इस प्रकार हैं कि x + y + z | vedclass

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Question

(D) यदि $x, y, z \in R^+$ और $x + y + z = 4$ दिया गया है,तो $xyz^2$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य ($AM$-$GM$) असमिका

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$4$

Vedclass · Answer

(D) यदि $x, y, z \in R^+$ और $x + y + z = 4$ दिया गया है,तो $xyz^2$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य ($AM$-$GM$) असमिका का उपयोग करेंगे।हम गुणनफल $x \cdot y \cdot (z/2) \cdot (z/2)$ को अधिकतम करना चाहते हैं।$AM$-$GM$ असमिका के अनुसार,धनात्मक वास्तविक संख्याओं के लिए,समांतर माध्य गुणोत्तर माध्य से बड़ा या उसके बराबर होता है:$\frac{x + y + z/2 + z/2}{4} \geq \sqrt[4]{x \cdot y \cdot (z/2) \cdot (z/2)}$दिया गया योग $x + y + z = 4$ रखने पर:$\frac{4}{4} \geq \sqrt[4]{\frac{xyz^2}{4}}$$1 \geq \sqrt[4]{\frac{xyz^2}{4}}$दोनों पक्षों की घात $4$ करने पर:$1 \geq \frac{xyz^2}{4}$$xyz^2 \leq 4$अतः,$xyz^2$ का अधिकतम संभव मान $4$ है।

यदि $x, y, z \in R^+$ इस प्रकार हैं कि $x + y + z = 4$,तो $xyz^2$ का अधिकतम संभव मान है -

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