मान लीजिए a_1, a_2, dots, a_{49} एक A.P. में | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि $a_1, a_2, \dots, a_{49}$ सार्व अंतर $d$ के साथ $A.P.$ में हैं।योग $\sum_{k=0}^{12} a_{4k+1} = a_1 + a_5 + a_9 + \dots + a_{49} = 4

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$34$

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(B) दिया गया है कि $a_1, a_2, \dots, a_{49}$ सार्व अंतर $d$ के साथ $A.P.$ में हैं।योग $\sum_{k=0}^{12} a_{4k+1} = a_1 + a_5 + a_9 + \dots + a_{49} = 416$ है।यह $13$ पदों वाली एक $A.P.$ है,जिसका प्रथम पद $a_1$ और सार्व अंतर $4d$ है।योग $= \frac{13}{2} [2a_1 + (13-1)4d] = 416 \Rightarrow \frac{13}{2} [2a_1 + 48d] = 416 \Rightarrow 13(a_1 + 24d) = 416 \Rightarrow a_1 + 24d = 32 \dots (1)$.साथ ही,$a_9 + a_{43} = (a_1 + 8d) + (a_1 + 42d) = 66 \Rightarrow 2a_1 + 50d = 66 \Rightarrow a_1 + 25d = 33 \dots (2)$.समीकरण $(2)$ में से $(1)$ घटाने पर,$d = 1$ प्राप्त होता है। $d=1$ को $(1)$ में रखने पर,$a_1 + 24 = 32 \Rightarrow a_1 = 8$ प्राप्त होता है।अब,$\sum_{r=1}^{17} a_r^2 = \sum_{r=1}^{17} [8 + (r-1)1]^2 = \sum_{r=1}^{17} (r+7)^2 = \sum_{r=1}^{17} (r^2 + 14r + 49) = 140m$ है।योग के सूत्रों का उपयोग करने पर: $\sum_{r=1}^{n} r^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$,$\sum_{r=1}^{n} r = \frac{n(n+1)}{2}$।$n=17$ के लिए: $\frac{17 	imes 18 	imes 35}{6} + 14 	imes \frac{17 	imes 18}{2} + 49 	imes 17 = 1785 + 2142 + 833 = 4760$।$140m = 4760 \Rightarrow m = \frac{4760}{140} = 34$।

मान लीजिए $a_1, a_2, \dots, a_{49}$ एक $A.P.$ में हैं,इस प्रकार कि $\sum_{k=0}^{12} a_{4k+1} = 416$ और $a_9 + a_{43} = 66$ है। यदि $a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_{17}^2 = 140m$ है,तो $m = \dots$

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