यदि 1^2 + 2^2 + 3^2 + dots + 2009^2 = (2009)( | vedclass

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Question

(C) वर्गों का योग दिया गया है: $\sum_{n=1}^{2009} n^2 = (2009)(335)(4019)$ .....$(1)$हमें योग $S = \sum_{n=1}^{2009} n(2010 - n)$ का मूल्यांकन करना है

Vedclass · Accepted Answer

$2011$

Vedclass · Answer

(C) वर्गों का योग दिया गया है: $\sum_{n=1}^{2009} n^2 = (2009)(335)(4019)$ .....$(1)$हमें योग $S = \sum_{n=1}^{2009} n(2010 - n)$ का मूल्यांकन करना है।योग का विस्तार करने पर: $S = 2010 \sum_{n=1}^{2009} n - \sum_{n=1}^{2009} n^2$.प्रथम $N$ प्राकृतिक संख्याओं के योग के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\sum_{n=1}^{N} n = \frac{N(N+1)}{2}$,जहाँ $N = 2009$ है:$S = 2010 \cdot \frac{2009 \cdot 2010}{2} - (2009)(335)(4019)$.$S = 1005 \cdot 2009 \cdot 2010 - (2009)(335)(4019)$.चूंकि $1005 = 3 \cdot 335$,इसलिए $S = 3 \cdot 335 \cdot 2009 \cdot 2010 - (2009)(335)(4019)$.$(2009)(335)$ को कॉमन लेने पर: $S = (2009)(335) [3 \cdot 2010 - 4019]$.$S = (2009)(335) [6030 - 4019] = (2009)(335)(2011)$.दिए गए व्यंजक $(2009)(335)(x)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 2011$ प्राप्त होता है।

यदि $1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + 2009^2 = (2009)(335)(4019)$ और $(1)(2009) + 2(2008) + 3(2007) + \dots + 2009(1) = (2009)(335)(x)$ है,तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए:

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