यदि log 2, log (2^{x}-1) और log (2^{x}+3) (सभ | vedclass

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Question

(C) दिया गया है कि $\log 2, \log (2^{x}-1)$ और $\log (2^{x}+3)$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं।तीन पदों $a, b, c$ के समांतर श्रेणी में होने के लिए शर्

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$\log _{2} 5$

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(C) दिया गया है कि $\log 2, \log (2^{x}-1)$ और $\log (2^{x}+3)$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं।तीन पदों $a, b, c$ के समांतर श्रेणी में होने के लिए शर्त $2b = a + c$ होती है।अतः,$2 \log (2^{x}-1) = \log 2 + \log (2^{x}+3)$.$\log a + \log b = \log (ab)$ और $n \log a = \log (a^{n})$ के गुणधर्म का उपयोग करने पर:$\log (2^{x}-1)^{2} = \log [2(2^{x}+3)]$.दोनों पक्षों से लघुगणक हटाने पर:$(2^{x}-1)^{2} = 2(2^{x}+3)$.माना $2^{x} = y$ है। तो समीकरण इस प्रकार होगा:$(y-1)^{2} = 2(y+3)$.$y^{2} - 2y + 1 = 2y + 6$.$y^{2} - 4y - 5 = 0$.द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:$(y-5)(y+1) = 0$.अतः,$y = 5$ या $y = -1$.चूंकि $2^{x} = y$ है और $2^{x}$ हमेशा धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $y = -1$ संभव नहीं है।अतः,$2^{x} = 5$.दोनों पक्षों में आधार $2$ के साथ लघुगणक लेने पर:$x = \log _{2} 5$.

यदि $\log 2, \log (2^{x}-1)$ और $\log (2^{x}+3)$ (सभी का आधार $10$ है) समांतर श्रेणी के तीन क्रमागत पद हैं,तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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