यदि alpha, beta समीकरण x^{2}+bx+c=0 के भिन्न | vedclass

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Question

(C) माना $f(x) = x^{2}+bx+c$ है। चूंकि $\alpha, \beta$ मूल हैं,$f(x) = (x-\alpha)(x-\beta)$ होगा।जैसे $x \rightarrow \beta$,$f(x) \rightarrow 0$ होता

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$2(b^{2}-4c)$

Vedclass · Answer

(C) माना $f(x) = x^{2}+bx+c$ है। चूंकि $\alpha, \beta$ मूल हैं,$f(x) = (x-\alpha)(x-\beta)$ होगा।जैसे $x \rightarrow \beta$,$f(x) \rightarrow 0$ होता है।टेलर श्रेणी विस्तार $e^{u} = 1 + u + \frac{u^{2}}{2!} + \dots$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = 2f(x)$:$\lim _{x \rightarrow \beta} \frac{e^{2f(x)}-1-2f(x)}{(x-\beta)^{2}} = \lim _{x \rightarrow \beta} \frac{(1 + 2f(x) + \frac{(2f(x))^{2}}{2} + \dots) - 1 - 2f(x)}{(x-\beta)^{2}}$$= \lim _{x \rightarrow \beta} \frac{2(f(x))^{2}}{(x-\beta)^{2}}$$= \lim _{x \rightarrow \beta} \frac{2((x-\alpha)(x-\beta))^{2}}{(x-\beta)^{2}}$$= \lim _{x \rightarrow \beta} 2(x-\alpha)^{2} = 2(\beta-\alpha)^{2}$चूंकि $(\beta-\alpha)^{2} = (\beta+\alpha)^{2} - 4\alpha\beta = (-b)^{2} - 4c = b^{2}-4c$,अतः सीमा $2(b^{2}-4c)$ है।

यदि $\alpha, \beta$ समीकरण $x^{2}+bx+c=0$ के भिन्न मूल हैं,तो $\lim _{x \rightarrow \beta} \frac{e^{2(x^{2}+bx+c)}-1-2(x^{2}+bx+c)}{(x-\beta)^{2}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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मान लीजिए $f(2) = 4$ और $f'(2) = 4$,तो $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \,\frac{{xf(2) - 2f(x)}}{{x - 2}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(4) = g(4) = 2$,$f'(4) = 9$,और $g'(4) = 6$ है,तो $\mathop {\text{Limit}}\limits_{x \to 4} \frac{\sqrt{f(x)} - \sqrt{g(x)}}{\sqrt{x} - 2}$ का मान ज्ञात कीजिए:

$\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\sqrt{2} \cos x-1}{\cot x-1}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\log \cos x}}{x} = $

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x \log (\sin x) = $

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