જો y^{1/4} + y^{-1/4} = 2x,અને (x^2 - 1) frac | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ છે કે $y^{1/4} + y^{-1/4} = 2x$. ધારો કે $u = y^{1/4}$,તો $u + \frac{1}{u} = 2x$,જેનો અર્થ થાય છે $u^2 - 2xu + 1 = 0$. $u$ માટે ઉકેલતા,આપણને

Vedclass · Accepted Answer

$17$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ છે કે $y^{1/4} + y^{-1/4} = 2x$. ધારો કે $u = y^{1/4}$,તો $u + \frac{1}{u} = 2x$,જેનો અર્થ થાય છે $u^2 - 2xu + 1 = 0$. $u$ માટે ઉકેલતા,આપણને $u = x \pm \sqrt{x^2 - 1}$ મળે છે.તેથી,$y^{1/4} = x \pm \sqrt{x^2 - 1}$,એટલે કે $y = (x \pm \sqrt{x^2 - 1})^4$.$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = 4(x \pm \sqrt{x^2 - 1})^3 \left(1 \pm \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}ight) = 4(x \pm \sqrt{x^2 - 1})^3 \left(\frac{\sqrt{x^2 - 1} \pm x}{\sqrt{x^2 - 1}}ight)$.કારણ કે $y^{1/4} = x \pm \sqrt{x^2 - 1}$,આપણને $\frac{dy}{dx} = 4(y^{3/4}) \left(\frac{\pm(x \pm \sqrt{x^2 - 1})}{\sqrt{x^2 - 1}}ight) = \frac{4y}{\sqrt{x^2 - 1}}$ મળે છે.બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(x^2 - 1) \left(\frac{dy}{dx}ight)^2 = 16y^2$.ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$(x^2 - 1) \cdot 2 \frac{dy}{dx} \cdot \frac{d^2y}{dx^2} + 2x \left(\frac{dy}{dx}ight)^2 = 32y \frac{dy}{dx}$.$2 \frac{dy}{dx}$ વડે ભાગતા (ધારી લઈએ કે $\frac{dy}{dx} 
eq 0$),આપણને $(x^2 - 1) \frac{d^2y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} - 16y = 0$ મળે છે.આને $(x^2 - 1) \frac{d^2y}{dx^2} + \alpha x \frac{dy}{dx} + \beta y = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 1$ અને $\beta = -16$ મળે છે.તેથી,$|\alpha - \beta| = |1 - (-16)| = |1 + 16| = 17$.

જો $y^{1/4} + y^{-1/4} = 2x$,અને $(x^2 - 1) \frac{d^2y}{dx^2} + \alpha x \frac{dy}{dx} + \beta y = 0$ હોય,તો $|\alpha - \beta|$ ની કિંમત ...... છે.

Similar Questions

$\frac{d^{20}}{dx^{20}}(2\cos x \cos 3x)$ નું મૂલ્ય શોધો.

$\frac{d^2 x}{d y^2}$ બરાબર શું થાય?

જો $y=44 x^{45}+45 x^{-44}$ હોય, તો $y^{\prime \prime}=$

ધારો કે $f$ એક બહુપદી વિધેય છે જેથી તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે $f(3x) = f'(x) \cdot f''(x)$ થાય. તો:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module