यदि y frac{dy}{dx} = x left[ frac{y^2}{x^2} + | vedclass

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Question

(B) माना $v = \frac{y^2}{x^2}$,इसलिए $y^2 = v x^2$। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2y \frac{dy}{dx} = 2vx^2 + x^2 \frac{dv}{dx}$,जिसका अर्थ है $y \frac

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$4 \phi(1)$

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(B) माना $v = \frac{y^2}{x^2}$,इसलिए $y^2 = v x^2$। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2y \frac{dy}{dx} = 2vx^2 + x^2 \frac{dv}{dx}$,जिसका अर्थ है $y \frac{dy}{dx} = vx^2 + \frac{x^2}{2} \frac{dv}{dx}$।इस मान को दिए गए समीकरण में रखने पर: $vx^2 + \frac{x^2}{2} \frac{dv}{dx} = x \left[ v + \frac{\phi(v)}{\phi'(v)} \right] = xv + x \frac{\phi(v)}{\phi'(v)}$।चूँकि $x > 0$,$x$ से भाग देने पर: $vx + \frac{x}{2} \frac{dv}{dx} = v + \frac{\phi(v)}{\phi'(v)}$।इसे हल करने पर: $\frac{x}{2} \frac{dv}{dx} = \frac{\phi(v)}{\phi'(v)} \implies \frac{\phi'(v)}{\phi(v)} dv = \frac{2}{x} dx$।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\ln(\phi(v)) = 2 \ln(x) + C = \ln(x^2) + C$।अतः,$\phi(v) = k x^2$,जहाँ $k = e^C$।चूँकि $v = y^2/x^2$,हमारे पास $\phi(y^2/x^2) = k x^2$ है।$y(1) = -1$ दिया गया है,इसलिए $x=1$ पर,$v = (-1)^2/1^2 = 1$। अतः $\phi(1) = k(1)^2 = k$।हमें $\phi(y^2/4)$ ज्ञात करना है। यदि हम $x=2$ रखें,तो $v = y^2/4$ होगा।इसलिए,$\phi(y^2/4) = k(2)^2 = 4k = 4 \phi(1)$।

यदि $y \frac{dy}{dx} = x \left[ \frac{y^2}{x^2} + \frac{\phi(y^2/x^2)}{\phi'(y^2/x^2)} \right]$,$x > 0$,$\phi > 0$,और $y(1) = -1$ है,तो $\phi(y^2/4)$ का मान ज्ञात कीजिए:

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