જો int_{0}^{sqrt{3}} frac{15 x^{3}}{sqrt{1+x^ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $1 + x^{2} = t^{2}$. તેથી $2x dx = 2t dt$,એટલે કે $x dx = t dt$.જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $t = 1$. જ્યારે $x = \sqrt{3}$,ત્યારે $t = 2$.સંકલન

Vedclass · Accepted Answer

$10$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $1 + x^{2} = t^{2}$. તેથી $2x dx = 2t dt$,એટલે કે $x dx = t dt$.જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $t = 1$. જ્યારે $x = \sqrt{3}$,ત્યારે $t = 2$.સંકલન $\int_{1}^{2} \frac{15(t^{2}-1) t dt}{\sqrt{t^{2} + t^{3}}} = 15 \int_{1}^{2} \frac{t(t^{2}-1)}{t \sqrt{1+t}} dt = 15 \int_{1}^{2} \frac{t^{2}-1}{\sqrt{1+t}} dt$ બને છે.ધારો કે $1 + t = u^{2}$,તેથી $t = u^{2} - 1$ અને $dt = 2u du$.જ્યારે $t = 1$,ત્યારે $u = \sqrt{2}$. જ્યારે $t = 2$,ત્યારે $u = \sqrt{3}$.સંકલન $15 \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} \frac{(u^{2}-1)^{2}-1}{u} (2u du) = 30 \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} (u^{4} - 2u^{2}) du$ બને છે.સંકલનનું મૂલ્ય: $30 \left[ \frac{u^{5}}{5} - \frac{2u^{3}}{3} \right]_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} = 30 \left[ \left( \frac{9\sqrt{3}}{5} - \frac{6\sqrt{3}}{3} \right) - \left( \frac{4\sqrt{2}}{5} - \frac{4\sqrt{2}}{3} \right) \right]$.$= 30 \left[ \left( \frac{9\sqrt{3} - 10\sqrt{3}}{5} \right) - \left( \frac{12\sqrt{2} - 20\sqrt{2}}{15} \right) \right] = 30 \left[ -\frac{\sqrt{3}}{5} + \frac{8\sqrt{2}}{15} \right] = -6\sqrt{3} + 16\sqrt{2}$.$\alpha \sqrt{2} + \beta \sqrt{3}$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = 16$ અને $\beta = -6$ મળે છે.તેથી,$\alpha + \beta = 16 - 6 = 10$.

જો $\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{15 x^{3}}{\sqrt{1+x^{2}+\sqrt{(1+x^{2})^{3}}}} dx = \alpha \sqrt{2} + \beta \sqrt{3}$,જ્યાં $\alpha, \beta$ પૂર્ણાંકો છે,તો $\alpha + \beta$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

જો $f(x)$ એ $x$ માં દ્વિઘાત બહુપદી હોય,તો $\int_{0}^{1} f(x) dx$ શું થાય?

$\int_{0}^{1} \left(\frac{x^{2}-2}{x^{2}+1}\right) dx =$

$\int_1^5 (|x - 3| + |1 - x|) \, dx$ નું મૂલ્ય શું છે?

$\int_0^1 \sin \left(2 \tan ^{-1} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\right) d x$ ની કિંમત શોધો :

$\int_{-1}^{2}\left|x^{3}-x\right| d x$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module