यदि $\alpha, \beta$ समीकरण $x^2-x-1=0$ के मूल हैं और $S_n=2023 \alpha^n+2024 \beta^n$ है,तो

मान लीजिए कि $p$ और $q$ वास्तविक संख्याएँ हैं जैसे कि $p \neq 0, p^3 \neq q$ और $p^3 \neq -q$ है। यदि $\alpha$ और $\beta$ ऐसी शून्येतर संख्याएँ हैं जो $\alpha + \beta = -p$ और $\alpha^3 + \beta^3 = q$ को संतुष्ट करती हैं,तो वह द्विघात समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके मूल $\frac{\alpha}{\beta}$ और $\frac{\beta}{\alpha}$ हैं।

यदि $\alpha, \beta$ द्विघात समीकरण $x^{2}+a x+b=0, (b \neq 0)$ के मूल हैं, तो वह द्विघात समीकरण जिसके मूल $\alpha-\frac{1}{\beta}$ और $\beta-\frac{1}{\alpha}$ हैं, क्या होगा?

यदि $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $4x^3 + 12x^2 - 7x + 165 = 0$ के मूल हैं और $\alpha + 5, \beta + 5, \gamma + 5$ समीकरण $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ के मूल हैं,तो दूसरे समीकरण के मूलों का गुणनफल क्या है?

$\lambda$ के किस मान के लिए ${x^2} + (2 + \lambda )x - \frac{1}{2}(1 + \lambda ) = 0$ के मूलों के वर्गों का योग न्यूनतम होगा?

यदि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $a x^2+b x+c=0$ के मूल हैं और यदि $p x^2+q x+r=0$ के मूल $\frac{1-\alpha}{\alpha}$ और $\frac{1-\beta}{\beta}$ हैं,तो $r$ का मान क्या होगा?