यदि x=x(t) अवकल समीकरण (t+1) dx = (2x + (t+1) | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(t+1) dx = (2x + (t+1)^4) dt$. इसे मानक रैखिक रूप $\frac{dx}{dt} + P(t)x = Q(t)$ में व्यवस्थित करने पर: $\frac{dx}{dt} = \f

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(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(t+1) dx = (2x + (t+1)^4) dt$. इसे मानक रैखिक रूप $\frac{dx}{dt} + P(t)x = Q(t)$ में व्यवस्थित करने पर: $\frac{dx}{dt} = \frac{2x + (t+1)^4}{t+1} = \frac{2x}{t+1} + (t+1)^3$. $\frac{dx}{dt} - \frac{2}{t+1}x = (t+1)^3$. समाकलन गुणक (Integrating Factor) $I.F. = e^{\int -\frac{2}{t+1} dt} = e^{-2 \ln(t+1)} = (t+1)^{-2} = \frac{1}{(t+1)^2}$. दोनों पक्षों को $I.F.$ से गुणा करने पर: $\frac{d}{dt} \left( \frac{x}{(t+1)^2} \right) = (t+1)^3 \cdot \frac{1}{(t+1)^2} = (t+1)$. $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\frac{x}{(t+1)^2} = \int (t+1) dt = \frac{(t+1)^2}{2} + C$. प्रारंभिक शर्त $x(0) = 2$ का उपयोग करने पर: $\frac{2}{(0+1)^2} = \frac{(0+1)^2}{2} + C \Rightarrow 2 = \frac{1}{2} + C \Rightarrow C = \frac{3}{2}$. अतः,हल $x = \frac{(t+1)^4}{2} + \frac{3}{2}(t+1)^2$ है। $t=1$ के लिए: $x(1) = \frac{(1+1)^4}{2} + \frac{3}{2}(1+1)^2 = \frac{16}{2} + \frac{3}{2}(4) = 8 + 6 = 14$.

यदि $x=x(t)$ अवकल समीकरण $(t+1) dx = (2x + (t+1)^4) dt$ का हल है और प्रारंभिक शर्त $x(0) = 2$ है,तो $x(1)$ का मान ज्ञात कीजिए:

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