यदि sum_{r=1}^{30} frac{r^2({}^{30}C_r)^2}{{} | vedclass

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Question

(D) हमारे पास व्यंजक $S = \sum_{r=1}^{30} \frac{r^2({}^{30}C_r)^2}{{}^{30}C_{r-1}}$ है।गुणधर्म $\frac{{}^{n}C_r}{{}^{n}C_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ का

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$465$

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(D) हमारे पास व्यंजक $S = \sum_{r=1}^{30} \frac{r^2({}^{30}C_r)^2}{{}^{30}C_{r-1}}$ है।गुणधर्म $\frac{{}^{n}C_r}{{}^{n}C_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ का उपयोग करने पर,$\frac{{}^{30}C_r}{{}^{30}C_{r-1}} = \frac{31-r}{r}$ प्राप्त होता है।अतः,पद $r(31-r) {}^{30}C_r$ बन जाता है।चूंकि $r \cdot {}^{30}C_r = 30 \cdot {}^{29}C_{r-1}$,योग $\sum_{r=1}^{30} 30 \cdot {}^{29}C_{r-1} (31-r)$ है।$k = r-1$ लेने पर,$r = k+1$. जब $r$,$1$ से $30$ तक जाता है,तो $k$,$0$ से $29$ तक जाता है।$S = 30 \sum_{k=0}^{29} {}^{29}C_k (30-k) = 30 \left( 30 \sum_{k=0}^{29} {}^{29}C_k - \sum_{k=0}^{29} k \cdot {}^{29}C_k \right)$.$\sum_{k=0}^{n} {}^{n}C_k = 2^n$ और $\sum_{k=0}^{n} k \cdot {}^{n}C_k = n \cdot 2^{n-1}$ का उपयोग करने पर:$S = 30 \left( 30 \cdot 2^{29} - 29 \cdot 2^{28} \right) = 30 \cdot 2^{28} (60 - 29) = 30 \cdot 31 \cdot 2^{28} = 15 \cdot 31 \cdot 2^{29} = 465 \cdot 2^{29}$.अतः,$\alpha = 465$.

यदि $\sum_{r=1}^{30} \frac{r^2({}^{30}C_r)^2}{{}^{30}C_{r-1}} = \alpha \times 2^{29}$ है,तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

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