यदि alpha और beta समीकरण 2z^2 - 3z - 2i = 0 क | vedclass

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Question

(D) दिया गया समीकरण $2z^2 - 3z - 2i = 0$ है। $z$ से भाग देने पर,हमें $2z - 3 - \frac{2i}{z} = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2(z - \frac{i}{z}) = 3

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$441$

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(D) दिया गया समीकरण $2z^2 - 3z - 2i = 0$ है। $z$ से भाग देने पर,हमें $2z - 3 - \frac{2i}{z} = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2(z - \frac{i}{z}) = 3$,या $z - \frac{i}{z} = \frac{3}{2}$। चूंकि $\alpha$ और $\beta$ मूल हैं,इसलिए $\alpha - \frac{i}{\alpha} = \frac{3}{2}$ और $\beta - \frac{i}{\beta} = \frac{3}{2}$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(\alpha - \frac{i}{\alpha})^2 = \alpha^2 + \frac{i^2}{\alpha^2} - 2i = \alpha^2 - \frac{1}{\alpha^2} - 2i = \frac{9}{4}$। अतः,$\alpha^2 - \frac{1}{\alpha^2} = \frac{9}{4} + 2i$। इसी प्रकार,$\beta^2 - \frac{1}{\beta^2} = \frac{9}{4} + 2i$। व्यंजक $E = \frac{\alpha^{19} + \beta^{19} + \alpha^{11} + \beta^{11}}{\alpha^{15} + \beta^{15}} = \frac{\alpha^{15}(\alpha^4 + \alpha^{-4}) + \beta^{15}(\beta^4 + \beta^{-4})}{\alpha^{15} + \beta^{15}}$ पर विचार करें। ध्यान दें कि $(\alpha^2 - \alpha^{-2})^2 = \alpha^4 + \alpha^{-4} - 2 = (\frac{9}{4} + 2i)^2 = \frac{81}{16} - 4 + 9i = \frac{17}{16} + 9i$। इसलिए,$\alpha^4 + \alpha^{-4} = \frac{17}{16} + 9i + 2 = \frac{49}{16} + 9i$। इसे $E$ में प्रतिस्थापित करने पर: $E = \frac{(\alpha^{15} + \beta^{15})(\frac{49}{16} + 9i)}{\alpha^{15} + \beta^{15}} = \frac{49}{16} + 9i$। अतः $\operatorname{Re}(E) = \frac{49}{16}$ और $\operatorname{Im}(E) = 9$। अभीष्ट मान $16 \cdot \operatorname{Re}(E) \cdot \operatorname{Im}(E) = 16 \cdot \frac{49}{16} \cdot 9 = 49 \cdot 9 = 441$ है।

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