જો y = y(x) એ વિકલ સમીકરણ sqrt{4-x^2} frac{dy | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\sqrt{4-x^2} \frac{dy}{dx} + y \sin^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) = \left(\sin^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)\right)^3$ છે. $\sqrt{

Vedclass · Accepted Answer

$4$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\sqrt{4-x^2} \frac{dy}{dx} + y \sin^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) = \left(\sin^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)\right)^3$ છે. $\sqrt{4-x^2}$ વડે ભાગતા,$\frac{dy}{dx} + \frac{\sin^{-1}(x/2)}{\sqrt{4-x^2}} y = \frac{(\sin^{-1}(x/2))^3}{\sqrt{4-x^2}}$ મળે. આ સુરેખ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ પ્રકારનું છે,જ્યાં $P(x) = \frac{\sin^{-1}(x/2)}{\sqrt{4-x^2}}$ અને $Q(x) = \frac{(\sin^{-1}(x/2))^3}{\sqrt{4-x^2}}$. સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{\sin^{-1}(x/2)}{\sqrt{4-x^2}} dx}$. ધારો કે $u = \sin^{-1}(x/2)$,તો $du = \frac{1}{\sqrt{4-x^2}} dx$. તેથી,$IF = e^{\int u du} = e^{u^2/2} = e^{\frac{(\sin^{-1}(x/2))^2}{2}}$. ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ છે. $y e^{\frac{(\sin^{-1}(x/2))^2}{2}} = \int u^3 e^{u^2/2} du + C$. ધારો કે $t = u^2/2$,તો $dt = u du$. સંકલન $\int 2t e^t dt = 2e^t(t-1) + C$ થાય. કિંમત મૂકતા,$y = u^2 - 2 + C e^{-u^2/2}$. $y(2) = \frac{\pi^2-8}{4}$ અને $u = \pi/2$ લેતા,$C = 0$ મળે. તેથી,$y = u^2 - 2 = (\sin^{-1}(x/2))^2 - 2$. $x=0$ માટે,$y(0) = -2$. તેથી,$y^2(0) = (-2)^2 = 4$.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $\left(1-x^2\right) \frac{d y}{d x}+x y=\frac{x^4}{\left(1+x^5\right)}\left(\sqrt{1-x^2}\right)^3$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \frac{2xy}{1 - x^2} = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx}-y=\cos x$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

ધારો કે $f:[1, \infty) \rightarrow [2, \infty)$ એક વિકલનીય વિધેય છે જેથી $f(1)=2$. જો $6 \int_1^x f(t) dt = 3x f(x) - x^3$ એ દરેક $x \geq 1$ માટે સત્ય હોય,તો $f(2)$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module