यदि ${\left( {\frac{{1 + i\sqrt 3 }}{{1 - i\sqrt 3 }}} \right)^n}$ एक पूर्णांक है,तो $n$ का न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक मान क्या है?

यदि $\cos \alpha+\cos \beta+\cos \gamma=\sin \alpha+\sin \beta+\sin \gamma=0$ है,तो $\left(\cos ^3 \alpha+\cos ^3 \beta+\cos ^3 \gamma\right)^2+\left(\sin ^3 \alpha+\sin ^3 \beta+\sin ^3 \gamma\right)^2=$

यदि $\omega$ इकाई का एक काल्पनिक घनमूल है, तो $(2-\omega)(2-\omega^{2}) + 2(3-\omega)(3-\omega^{2}) + \ldots + (n-1)(n-\omega)(n-\omega^{2})$ का मान क्या है?

यदि $\alpha, \beta$ समीकरण $x^2-2x+4=0$ के मूल हैं, तो $n \in N$ के लिए, $\alpha^n+\beta^n$ का मान क्या है?

$n \in N$ के लिए,यदि $A_n = \cos \left(\frac{\pi}{2^n}\right) + i \sin \left(\frac{\pi}{2^n}\right)$ है,तो $(A_1 A_2 A_3 A_4)^4 =$

एक शून्येतर सम्मिश्र संख्या $z$ के लिए,मान लीजिए $\arg (z)$,$z$ का मुख्य कोणांक दर्शाता है,जहाँ $-\pi < \arg (z) \leq \pi$ है। मान लीजिए $\omega$ इकाई का घनमूल है जिसके लिए $0 < \arg (\omega) < \pi$ है। मान लीजिए $\alpha = \arg \left(\sum_{n=1}^{2025} (-\omega)^n\right)$ है। तो $\frac{3 \alpha}{\pi}$ का मान $.....$ है।