જો 1^2 cdot binom{15}{1} + 2^2 cdot binom{15} | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ સરવાળો $S = \sum_{r=1}^{15} r^2 \binom{15}{r}$ છે.નિત્યસમ $r \binom{n}{r} = n \binom{n-1}{r-1}$ નો ઉપયોગ કરતા, $S = \sum_{r=1}^{15} r \cdot 1

Vedclass · Accepted Answer

$19$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ સરવાળો $S = \sum_{r=1}^{15} r^2 \binom{15}{r}$ છે.નિત્યસમ $r \binom{n}{r} = n \binom{n-1}{r-1}$ નો ઉપયોગ કરતા, $S = \sum_{r=1}^{15} r \cdot 15 \binom{14}{r-1} = 15 \sum_{r=1}^{15} (r-1+1) \binom{14}{r-1}$ મળે.$S = 15 \left[ \sum_{r=1}^{15} (r-1) \binom{14}{r-1} + \sum_{r=1}^{15} \binom{14}{r-1} \right]$.ફરીથી $r \binom{n}{r} = n \binom{n-1}{r-1}$ નો ઉપયોગ કરતા, $S = 15 \left[ 14 \sum_{r=2}^{15} \binom{13}{r-2} + 2^{14} \right]$.$S = 15 \left[ 14 \cdot 2^{13} + 2^{14} \right] = 15 \cdot 2^{13} (14 + 2) = 15 \cdot 2^{13} \cdot 16$.$S = (3 \cdot 5) \cdot 2^{13} \cdot 2^4 = 2^{17} \cdot 3^1 \cdot 5^1$.$2^m \cdot 3^n \cdot 5^k$ સાથે સરખાવતા, $m=17, n=1, k=1$ મળે.આમ, $m+n+k = 17+1+1 = 19$.

જો $1^2 \cdot \binom{15}{1} + 2^2 \cdot \binom{15}{2} + 3^2 \cdot \binom{15}{3} + \ldots + 15^2 \cdot \binom{15}{15} = 2^m \cdot 3^n \cdot 5^k$, જ્યાં $m, n, k \in N$, તો $m + n + k$ ની કિંમત છે:

Similar Questions

જો $\frac{{}^{11}C_1}{2} + \frac{{}^{11}C_2}{3} + \dots + \frac{{}^{11}C_9}{10} = \frac{n}{m}$ અને $\gcd(n, m) = 1$ હોય,તો $n + m$ ની કિંમત શોધો.

$^{15}C_3 + ^{15}C_5 + \ldots + ^{15}C_{15} = ?$

જો $\sum\limits_{i = 1}^{20} {\left( {\frac{{{}^{20}{C_{i - 1}}}}{{{}^{20}{C_i} + {}^{20}{C_{i - 1}}}}} \right)} ^3 = \frac{k}{21}$ હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો.

જો $\sum\limits_{i = 0}^4 {^{4 + i}} {C_i} + \sum\limits_{j = 6}^9 {^{3 + j}} {C_j} = {\,^x}{C_y}$ ($x$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે),તો નીચેનામાંથી કયું ખોટું છે?

જો $\sum_{r=0}^5 \frac{{}^{11}C_{2r+1}}{2r+2} = \frac{m}{n}$,$\text{gcd}(m, n) = 1$ હોય,તો $m - n$ ની કિંમત . . . . . . થાય.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module