यदि f(x) = log(1+x) - frac{2x}{2+x} है,तो f(x | vedclass

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Question

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि $f(x)$ कहाँ वर्धमान है,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।दिया गया है $f(x) = \log(1+x) - \frac{2x}{2+x}$।$f(x)$ का

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$(-1, \infty)$

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(A) यह निर्धारित करने के लिए कि $f(x)$ कहाँ वर्धमान है,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।दिया गया है $f(x) = \log(1+x) - \frac{2x}{2+x}$।$f(x)$ का प्रांत (domain) $x > -1$ है।$f'(x) = \frac{d}{dx} [\log(1+x)] - \frac{d}{dx} [\frac{2x}{2+x}]$।दूसरे पद के लिए भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करने पर: $\frac{d}{dx} [\frac{2x}{2+x}] = \frac{(2+x)(2) - 2x(1)}{(2+x)^2} = \frac{4+2x-2x}{(2+x)^2} = \frac{4}{(2+x)^2}$।अतः,$f'(x) = \frac{1}{1+x} - \frac{4}{(2+x)^2}$।$f'(x) = \frac{(2+x)^2 - 4(1+x)}{(1+x)(2+x)^2} = \frac{4+4x+x^2-4-4x}{(1+x)(2+x)^2} = \frac{x^2}{(1+x)(2+x)^2}$।$f(x)$ के वर्धमान होने के लिए,हमें $f'(x) > 0$ की आवश्यकता है।चूंकि $x^2 \ge 0$ और $(2+x)^2 > 0$ प्रांत के सभी $x$ के लिए है,इसलिए $f'(x) > 0$ तभी होगा जब $1+x > 0$,जिसका अर्थ है $x > -1$।अतः,$f(x)$ अंतराल $(-1, \infty)$ में वर्धमान है।

यदि $f(x) = \log(1+x) - \frac{2x}{2+x}$ है,तो $f(x)$ किस अंतराल में वर्धमान (increasing) है?

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