यदि f(x) = frac{log x}{x} (x 0) है,तो यह कि | vedclass

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Question

(A) दिया गया फलन $f(x) = \frac{\log x}{x}$ है।यह निर्धारित करने के लिए कि फलन कहाँ वर्धमान है,हम भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके इसका अवकलज $

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$(0, e)$

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(A) दिया गया फलन $f(x) = \frac{\log x}{x}$ है।यह निर्धारित करने के लिए कि फलन कहाँ वर्धमान है,हम भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:$f'(x) = \frac{x \cdot \frac{d}{dx}(\log x) - \log x \cdot \frac{d}{dx}(x)}{x^2} = \frac{x \cdot \frac{1}{x} - \log x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$.फलन के वर्धमान होने के लिए,हमें $f'(x) > 0$ की आवश्यकता है।चूँकि $x > 0$ के लिए $x^2 > 0$ होता है,इसलिए $f'(x) > 0$ का अर्थ है $1 - \log x > 0$।यह $1 > \log x$ में सरल हो जाता है,जिसका अर्थ है $\log x दोनों पक्षों का घातांक लेने पर,हमें $x दिए गए प्रांत $x > 0$ को देखते हुए,फलन अंतराल $(0, e)$ में वर्धमान है।

यदि $f(x) = \frac{\log x}{x}$ $(x > 0)$ है,तो यह किस अंतराल में वर्धमान (increasing) है?

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$f(x) = (x + 2) e^{-x}$ द्वारा परिभाषित फलन $f$ है

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