यदि x=1 और x=2 फलन f(x)=alpha log x+beta x^2+ | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = \alpha \log x + \beta x^2 + x$. चूंकि $x=1$ और $x=2$ चरम बिंदु हैं,इसलिए इन बिंदुओं पर अवकलज $f'(x)$ शून्य होना चाहिए। $f'(x)

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(A) दिया गया है $f(x) = \alpha \log x + \beta x^2 + x$. चूंकि $x=1$ और $x=2$ चरम बिंदु हैं,इसलिए इन बिंदुओं पर अवकलज $f'(x)$ शून्य होना चाहिए। $f'(x) = \frac{\alpha}{x} + 2\beta x + 1$. $x=1$ पर,$f'(1) = \frac{\alpha}{1} + 2\beta(1) + 1 = 0 \implies \alpha + 2\beta = -1$ (समीकरण $1$). $x=2$ पर,$f'(2) = \frac{\alpha}{2} + 2\beta(2) + 1 = 0 \implies \frac{\alpha}{2} + 4\beta = -1 \implies \alpha + 8\beta = -2$ (समीकरण $2$). समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर: $(\alpha + 8\beta) - (\alpha + 2\beta) = -2 - (-1) \implies 6\beta = -1 \implies \beta = -\frac{1}{6}$. $\beta = -\frac{1}{6}$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर: $\alpha + 2(-\frac{1}{6}) = -1 \implies \alpha - \frac{1}{3} = -1 \implies \alpha = -\frac{2}{3}$. अब,$\alpha^2 + 2\beta$ की गणना करने पर: $(-\frac{2}{3})^2 + 2(-\frac{1}{6}) = \frac{4}{9} - \frac{1}{3} = \frac{4-3}{9} = \frac{1}{9}$.

यदि $x=1$ और $x=2$ फलन $f(x)=\alpha \log x+\beta x^2+x$ के चरम बिंदु हैं,जहाँ $\alpha$ और $\beta$ स्थिरांक हैं,तो $\alpha^2+2 \beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

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