यदि $x, y$ और $r$ धनात्मक पूर्णांक हैं,तो $^x{C_r} + ^x{C_{r-1}} ^y{C_1} + ^x{C_{r-2}} ^y{C_2} + \dots + ^y{C_r} = $

यदि $10 \cdot ^nC_2 = 3 \cdot ^{n+1}C_3$ है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए।

दो कलश हैं। कलश $A$ में $3$ अलग-अलग लाल गेंदें हैं और कलश $B$ में $9$ नीली गेंदें हैं। यदि प्रत्येक कलश से दो गेंदें यादृच्छिक रूप से चुनी जाती हैं और उनकी अदला-बदली की जाती है,तो यह क्रिया कितने तरीकों से की जा सकती है?

$6$ पुस्तकों में से,एक या अधिक पुस्तकों का एक समूह कितनी तरह से चुना जा सकता है?

यदि ${ }^{n-3} C_r + B \cdot { }^{n-3} C_{r-1} + B^{\prime} \cdot { }^{n-3} C_{r-2} + { }^{n-3} C_{r-3} = { }^n C_r$ सभी $n \geq r \geq 3$ के लिए सत्य है,तो $(B, B^{\prime}) = $.

समीकरण $x+y+z=21$ के पूर्णांक हलों की संख्या ज्ञात कीजिए,जहाँ $x \geq 1, y \geq 3, z \geq 4$ है।