यदि $f(x)=\sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^{2}}\right)$ है,तो $f(x)$ किस अंतराल पर अवकलनीय है?

मान लीजिए कि फलन $f: R \rightarrow R$ को $f(x)=x-x^2+(x-1) \sin x$ द्वारा परिभाषित किया गया है और $g: R \rightarrow R$ एक स्वेच्छ फलन है। मान लीजिए $f g: R \rightarrow R$ गुणन फलन है जिसे $(f g)(x)=f(x) g(x)$ द्वारा परिभाषित किया गया है। तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
$(A)$ यदि $g$,$x=1$ पर सतत है,तो $f g$,$x=1$ पर अवकलनीय है
$(B)$ यदि $fg$,$x=1$ पर अवकलनीय है,तो $g$,$x=1$ पर सतत है
$(C)$ यदि $g$,$x=1$ पर अवकलनीय है,तो $f g$,$x=1$ पर अवकलनीय है
$(D)$ यदि $fg$,$x=1$ पर अवकलनीय है,तो $g$,$x=1$ पर अवकलनीय है

निम्नलिखित ग्राफ द्वारा दर्शाया गया फलन है,

यदि $f(x) = \begin{cases} x \left(1 + \frac{1}{2} \sin (\log x^2) \right), & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ है,तो $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x) - f(0)}{x}$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} x + 1, & \text{जब } x < 2 \\ 2x - 1, & \text{जब } x \ge 2 \end{cases}$,तो $f'(2) = $

मान लीजिए $f(x) = |x - \alpha| + |x - \beta|$, जहाँ $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^2 - 3x + 2 = 0$ के मूल हैं। तो $[\alpha, \beta]$ में उन बिंदुओं की संख्या क्या है जहाँ $f$ अवकलनीय नहीं है?