यदि e^{y} + xy = e है,तो x = 0 पर क्रमित युग् | vedclass

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Question

(A) दिया गया समीकरण $e^{y} + xy = e$ है।
$x = 0$ पर,$e^{y} + 0 = e$,जिसका अर्थ है $e^{y} = e$,इसलिए $y = 1$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन

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$(-\frac{1}{e}, \frac{1}{e^2})$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया समीकरण $e^{y} + xy = e$ है।
$x = 0$ पर,$e^{y} + 0 = e$,जिसका अर्थ है $e^{y} = e$,इसलिए $y = 1$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(e^{y} + xy) = \frac{d}{dx}(e)$
$e^{y} \frac{dy}{dx} + y + x \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है।
$(x, y) = (0, 1)$ पर:
$e^{1} \frac{dy}{dx} + 1 + 0 = 0 \implies e \frac{dy}{dx} = -1 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{e}$।
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(e^{y} \frac{dy}{dx} + y + x \frac{dy}{dx}) = 0$
$e^{y} (\frac{dy}{dx})^2 + e^{y} \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} + \frac{dy}{dx} + x \frac{d^2y}{dx^2} = 0$
$e^{y} (\frac{dy}{dx})^2 + e^{y} \frac{d^2y}{dx^2} + 2 \frac{dy}{dx} + x \frac{d^2y}{dx^2} = 0$ प्राप्त होता है।
$x = 0, y = 1, \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{e}$ का मान रखने पर:
$e(-\frac{1}{e})^2 + e \frac{d^2y}{dx^2} + 2(-\frac{1}{e}) + 0 = 0$
$\frac{1}{e} + e \frac{d^2y}{dx^2} - \frac{2}{e} = 0$
$e \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{e} \implies \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{e^2}$।
अतः क्रमित युग्म $(-\frac{1}{e}, \frac{1}{e^2})$ है।

यदि $e^{y} + xy = e$ है,तो $x = 0$ पर क्रमित युग्म $\left(\frac{dy}{dx}, \frac{d^2y}{dx^2}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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