मान लीजिए f: R rightarrow R एक अवकलनीय फलन है | vedclass

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Question

(C) दिया गया फलन समीकरण $f(x+y)=f(x) \cdot f^{\prime}(y)+f^{\prime}(x) \cdot f(y)$ है।$x=0$ और $y=0$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $f(0)=f(0) \cdot f^{

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$2$

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(C) दिया गया फलन समीकरण $f(x+y)=f(x) \cdot f^{\prime}(y)+f^{\prime}(x) \cdot f(y)$ है।$x=0$ और $y=0$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $f(0)=f(0) \cdot f^{\prime}(0)+f^{\prime}(0) \cdot f(0) = 2 f(0) \cdot f^{\prime}(0)$.चूंकि $f(0)=1$,हमारे पास $1 = 2(1) \cdot f^{\prime}(0)$ है,जिसका अर्थ है $f^{\prime}(0)=\frac{1}{2}$.अब,$x$ को चर के रूप में रखते हुए और $y=0$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $f(x+0)=f(x) \cdot f^{\prime}(0)+f^{\prime}(x) \cdot f(0)$.$f(0)=1$ और $f^{\prime}(0)=\frac{1}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f(x) = f(x) \cdot \frac{1}{2} + f^{\prime}(x) \cdot 1$ प्राप्त होता है।यह $f^{\prime}(x) = \frac{1}{2} f(x)$ या $\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = \frac{1}{2}$ में सरल हो जाता है।दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$\int \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} dx = \int \frac{1}{2} dx$,जिसका परिणाम $\log(f(x)) = \frac{1}{2}x + C$ है।$f(0)=1$ का उपयोग करने पर,$\log(1) = 0 + C$,इसलिए $C=0$.अतः,$\log(f(x)) = \frac{1}{2}x$.$x=4$ के लिए,$\log(f(4)) = \frac{1}{2} 	imes 4 = 2$.

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