यदि $x=\cos ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}\right)$ और $y=\sin ^{-1}\left(\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}\right)$ है,तो $\frac{dy}{dx}$ का मान क्या है?

यदि समीकरण $\sin^{-1} \sqrt{1-x^2} = \tan^{-1} \sqrt{\frac{2}{x}-1}$ को संतुष्ट करने वाला $x$ का मान $\frac{a}{b}$ है (जहाँ $a$ और $b$ सह-अभाज्य हैं),तो $a^2 + b^2$ का मान क्या है?

माना $\tan ^{-1}(x) \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$,$x \in R$ के लिए। तो समीकरण $\sqrt{1+\cos (2 x)}=\sqrt{2} \tan ^{-1}(\tan x)$ के समुच्चय $\left(-\frac{3 \pi}{2},-\frac{\pi}{2}\right) \cup\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \cup\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right)$ में वास्तविक हलों की संख्या बराबर है

$\operatorname{Tan}^{-1} 1 + \frac{1}{2} \operatorname{Cos}^{-1} x^2 - \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}}\right) = 0$ के हलों की संख्या क्या है?

यदि $x \in (0, 1)$ के लिए $\sin(\tan^{-1}(x\sqrt{2})) = \cot(\sin^{-1}\sqrt{1-x^2})$ है, तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए:

$\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x}-1}{(\cos ^{-1} x)^2} = $