माना tan ^{-1}(x) inleft(-frac{pi}{2}, frac{p | vedclass

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Question

(D) दिया गया समीकरण: $\sqrt{1+\cos (2 x)}=\sqrt{2} 	an ^{-1}(	an x)$सर्वसमिका $1+\cos(2x) = 2\cos^2 x$ का उपयोग करने पर,हमें $\sqrt{2\cos^2 x} = \sq

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$3$

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(D) दिया गया समीकरण: $\sqrt{1+\cos (2 x)}=\sqrt{2} 	an ^{-1}(	an x)$सर्वसमिका $1+\cos(2x) = 2\cos^2 x$ का उपयोग करने पर,हमें $\sqrt{2\cos^2 x} = \sqrt{2} 	an^{-1}(	an x)$ प्राप्त होता है।यह सरल होकर $\sqrt{2}|\cos x| = \sqrt{2} 	an^{-1}(	an x)$ या $|\cos x| = 	an^{-1}(	an x)$ हो जाता है।हमें प्रांत $D = \left(-\frac{3 \pi}{2},-\frac{\pi}{2}ight) \cup\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}ight) \cup\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}ight)$ में $y = |\cos x|$ और $y = 	an^{-1}(	an x)$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं की संख्या ज्ञात करनी है।$1$. $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}ight)$ में,$	an^{-1}(	an x) = x$ होता है। समीकरण $|\cos x| = x$ है। चूँकि $x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}ight) \setminus \{0\}$ के लिए $|\cos x| > 0$ है और $x=0$ पर $|\cos 0| = 1 
eq 0$ है,इसलिए $x > 0$ के लिए एक हल मिलता है और $x \leq 0$ के लिए कोई हल नहीं मिलता।$2$. $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}ight)$ में,$	an^{-1}(	an x) = x - \pi$ होता है। समीकरण $|\cos x| = x - \pi$ है। इस अंतराल में एक प्रतिच्छेदन बिंदु मिलता है।$3$. $\left(-\frac{3 \pi}{2}, -\frac{\pi}{2}ight)$ में,$	an^{-1}(	an x) = x + \pi$ होता है। समीकरण $|\cos x| = x + \pi$ है। इस अंतराल में एक प्रतिच्छेदन बिंदु मिलता है।कुल हलों की संख्या $1 + 1 + 1 = 3$ है।

सूची $I$	सूची $II$
$P$. $\left(\frac{1}{y^2}\left(\frac{\cos (\tan ^{-1} y)+y \sin (\tan ^{-1} y)}{\cot (\sin ^{-1} y)+\tan (\sin ^{-1} y)}\right)^2+y^4\right)^{1 / 2}$ का मान है	$1$. $\frac{1}{2} \sqrt{\frac{5}{3}}$
$Q$. यदि $\cos x+\cos y+\cos z=0=\sin x+\sin y+\sin z$ है, तो $\cos \frac{x-y}{2}$ का संभावित मान है	$2$. $\sqrt{2}$
$R$. यदि $\cos (\frac{\pi}{4}-x) \cos 2 x+\sin x \sin 2 x \sec x=\cos x \sin 2 x \sec x+\cos (\frac{\pi}{4}+x) \cos 2 x$ है, तो $\sec x$ का संभावित मान है	$3$. $\frac{1}{2}$
$S$. यदि $\cot (\sin ^{-1} \sqrt{1-x^2})=\sin (\tan ^{-1}(x \sqrt{6})), x \neq 0$ है, तो $x$ का संभावित मान है	$4$. $1$

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