यदि $f(x) = \sin^{-1}\left(\frac{2x}{1+x^2}\right) + \cos^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)$,जहाँ $x \in (1, \infty)$,तो $f'(x)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $u = \tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1 + x^2} - 1}{x} \right)$ और $v = 2 \tan^{-1} x$ है,तो $\frac{du}{dv}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\alpha = 3 \sin^{-1}\left(\frac{6}{11}\right)$ और $\beta = 3 \cos^{-1}\left(\frac{4}{9}\right)$ है,जहाँ प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन केवल मुख्य मान लेते हैं,तो सही विकल्प है/हैं:
$(A) \cos \beta > 0$
$(B) \sin \beta < 0$
$(C) \cos(\alpha + \beta) > 0$
$(D) \cos \alpha < 0$

$\tan \left(2 \tan ^{-1}\left(\frac{1}{5}\right)+\frac{\pi}{4}\right)$ का संख्यात्मक मान ज्ञात कीजिए।

$\sin \left(\tan ^{-1} \frac{4}{5}+\tan ^{-1} \frac{4}{3}+\tan ^{-1} \frac{1}{9}-\tan ^{-1} \frac{1}{7}\right) = $

$x \in[-1,1]$ के लिए समीकरण $\sin ^{-1}\left[x^{2}+\frac{1}{3}\right]+\cos ^{-1}\left[x^{2}-\frac{2}{3}\right]=x^{2}$ के हलों की संख्या ज्ञात कीजिए,जहाँ $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन है।