$\sin \left(\tan ^{-1} \frac{4}{5}+\tan ^{-1} \frac{4}{3}+\tan ^{-1} \frac{1}{9}-\tan ^{-1} \frac{1}{7}\right) = $

माना $x = \frac{m}{n}$ ($m, n$ सह-अभाज्य प्राकृतिक संख्याएँ हैं) समीकरण $\cos(2 \sin^{-1} x) = \frac{1}{9}$ का एक हल है और माना $\alpha, \beta$ $(\alpha > \beta)$ समीकरण $mx^2 - nx - m + n = 0$ के मूल हैं। तब बिंदु $(\alpha, \beta)$ किस रेखा पर स्थित है?

$x$ का मान ज्ञात कीजिए, जहाँ $x>0$ और $\tan \left(\sec ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)\right)=\sin \left(\tan ^{-1} 2\right)$ है।

यदि $\cot \left(\cos^{-1} x\right) = \sec \left(\tan^{-1} \left(\frac{a}{\sqrt{b^2-a^2}}\right)\right)$,जहाँ $b > a > 0$,तो $x =$

मान लीजिए $E_1 = \{x \in R : x \neq 1 \text{ और } \frac{x}{x-1} > 0\}$ और $E_2 = \{x \in E_1 : \sin^{-1}(\log_e(\frac{x}{x-1})) \text{ एक वास्तविक संख्या है}\}$. (यहाँ,प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन $\sin^{-1} x$ का मान $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ में होता है)। मान लीजिए $f : E_1 \rightarrow R$ फलन $f(x) = \log_e(\frac{x}{x-1})$ द्वारा परिभाषित है और $g : E_2 \rightarrow R$ फलन $g(x) = \sin^{-1}(\log_e(\frac{x}{x-1}))$ द्वारा परिभाषित है। $LIST I$ की वस्तुओं को $LIST II$ के साथ सुमेलित करें।

यदि $p, q, r$ एक $G.P.$ में हैं और $\tan^{-1} p, \tan^{-1} q, \tan^{-1} r$ एक $A.P.$ में हैं,तो $p, q, r$ किस संबंध को संतुष्ट करते हैं?