यदि int frac{d theta}{cos ^2 theta(tan 2 thet | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int \frac{d 	heta}{\cos ^2 	heta(	an 2 	heta+\sec 2 	heta)}$ है।$	an 2	heta = \frac{\sin 2	heta}{\cos 2	heta}$ और $\sec 2	het

Vedclass · Accepted Answer

$(-1, 1+	an 	heta)$

Vedclass · Answer

(D) माना $I = \int \frac{d 	heta}{\cos ^2 	heta(	an 2 	heta+\sec 2 	heta)}$ है।$	an 2	heta = \frac{\sin 2	heta}{\cos 2	heta}$ और $\sec 2	heta = \frac{1}{\cos 2	heta}$ का उपयोग करने पर:$I = \int \frac{\sec ^2 	heta d 	heta}{\frac{\sin 2 	heta+1}{\cos 2 	heta}} = \int \frac{\cos 2 	heta \sec ^2 	heta d 	heta}{1+\sin 2 	heta}$ प्राप्त होता है।चूँकि $\cos 2	heta = \cos^2 	heta - \sin^2 	heta$ और $1 + \sin 2	heta = (\cos 	heta + \sin 	heta)^2$ है,इसलिए:$I = \int \frac{(\cos 	heta - \sin 	heta)(\cos 	heta + \sin 	heta) \sec^2 	heta d 	heta}{(\cos 	heta + \sin 	heta)^2} = \int \frac{\cos 	heta - \sin 	heta}{\cos 	heta + \sin 	heta} \sec^2 	heta d 	heta$ प्राप्त होता है।अंश और हर को $\cos 	heta$ से विभाजित करने पर:$I = \int \frac{1-	an 	heta}{1+	an 	heta} \sec^2 	heta d 	heta$ प्राप्त होता है।माना $t = 	an 	heta$,तब $dt = \sec^2 	heta d	heta$:$I = \int \frac{1-t}{1+t} dt = \int \left(-1 + \frac{2}{1+t}ight) dt = -t + 2 \log |1+t| + C$ प्राप्त होता है।$t = 	an 	heta$ का मान रखने पर:$I = -	an 	heta + 2 \log |1+	an 	heta| + C$ प्राप्त होता है।इसकी तुलना $\lambda 	an 	heta + 2 \log |f(	heta)| + C$ से करने पर,हमें $\lambda = -1$ और $f(	heta) = 1+	an 	heta$ प्राप्त होता है।

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