यदि int sin (101 x)(sin x)^{99} d x=frac{sin | vedclass

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Question

(A) हमें समाकलन $I = \int \sin (101 x)(\sin x)^{99} d x$ दिया गया है। सर्वसमिका $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर, $\sin(10

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(A) हमें समाकलन $I = \int \sin (101 x)(\sin x)^{99} d x$ दिया गया है। सर्वसमिका $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर, $\sin(100x + x) = \sin(100x)\cos x + \cos(100x)\sin x$ प्राप्त होता है। इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int (\sin(100x)\cos x + \cos(100x)\sin x)(\sin x)^{99} d x$ $I = \int \sin(100x) \cos x (\sin x)^{99} d x + \int \cos(100x) (\sin x)^{100} d x$. प्रथम समाकलन $\int \sin(100x) \cdot (\cos x (\sin x)^{99}) d x$ के लिए खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करने पर: मान लीजिए $u = \sin(100x)$ और $dv = \cos x (\sin x)^{99} d x$ है। तब $du = 100 \cos(100x) d x$ और $v = \frac{(\sin x)^{100}}{100}$ प्राप्त होता है। $\int u dv = uv - \int v du$ सूत्र का उपयोग करने पर: $I = \sin(100x) \cdot \frac{(\sin x)^{100}}{100} - \int \frac{(\sin x)^{100}}{100} \cdot 100 \cos(100x) d x + \int \cos(100x) (\sin x)^{100} d x$. $I = \frac{\sin(100x)(\sin x)^{100}}{100} - \int \cos(100x)(\sin x)^{100} d x + \int \cos(100x)(\sin x)^{100} d x + C$. $I = \frac{\sin(100x)(\sin x)^{100}}{100} + C$. इसकी तुलना दिए गए रूप $\frac{\sin (100 x)(\sin x)^\lambda}{\mu}+c$ से करने पर, हमें $\lambda = 100$ और $\mu = 100$ प्राप्त होता है। अतः, $\frac{\lambda}{\mu} = \frac{100}{100} = 1$.

यदि $\int \sin (101 x)(\sin x)^{99} d x=\frac{\sin (100 x)(\sin x)^\lambda}{\mu}+c$ है, तो $\frac{\lambda}{\mu}=$

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समाकलन $\int \frac{x^2 + \cos^2 x}{1 + x^2} \operatorname{cosec}^2 x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए,जहाँ $c$ समाकलन का स्थिरांक है।

$\text{यदि } \int x[\log (1+x)]^3 dx = \frac{(1+x)^2}{16}(f(x)) + (1+x)(g(x)), \text{ तो } f(x) + g(x) = $

$\int \tan ^{-1}\left(1-x+x^2\right) d x+\int \tan ^{-1}(x) d x+\int \tan ^{-1}(1-x) d x=$

$\int \frac{dx}{(1+\sqrt{x}) \sqrt{x-x^2}} = $

यदि $\int(x^6+x^4+x^2) \sqrt{2x^4+3x^2+6} dx = f(x) + c$ है,तो $f(3) =$

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