यदि int x^{x}(1+log x) d x=k x^{x}+c है,तो k= | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int x^{x}(1+\log x) dx$. प्रतिस्थापन $u = x^{x}$ का उपयोग करें। दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\log u = x \log x$. $x$ के सा

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$\log _{e} e$

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(A) माना $I = \int x^{x}(1+\log x) dx$. प्रतिस्थापन $u = x^{x}$ का उपयोग करें। दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\log u = x \log x$. $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$. अतः,$\frac{du}{dx} = u(1 + \log x) = x^{x}(1 + \log x)$. इसलिए,$du = x^{x}(1 + \log x) dx$. इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,$I = \int du = u + c$. $u$ को $x^{x}$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I = x^{x} + c$ प्राप्त होता है। दिए गए व्यंजक $k x^{x} + c$ के साथ तुलना करने पर,$k = 1$ प्राप्त होता है। चूंकि $\log_{e} e = 1$,इसलिए सही विकल्प $A$ है।

यदि $\int x^{x}(1+\log x) d x=k x^{x}+c$ है,तो $k=$

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