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Question

(A) निरीक्षण विधि द्वारा $f(x) = 3x^{2} + 4x^{3}$ का प्रति-अवकलज ज्ञात करने के लिए,हम एक ऐसा फलन $F(x)$ ढूँढते हैं जिसके लिए $F'(x) = f(x)$ हो।हम जानत

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$x^{3} + x^{4}$

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(A) निरीक्षण विधि द्वारा $f(x) = 3x^{2} + 4x^{3}$ का प्रति-अवकलज ज्ञात करने के लिए,हम एक ऐसा फलन $F(x)$ ढूँढते हैं जिसके लिए $F'(x) = f(x)$ हो।हम जानते हैं कि $x^{n}$ का अवकलज $nx^{n-1}$ होता है।प्रथम पद $3x^{2}$ के लिए,हम देखते हैं कि $\frac{d}{dx}(x^{3}) = 3x^{2}$ होता है।द्वितीय पद $4x^{3}$ के लिए,हम देखते हैं कि $\frac{d}{dx}(x^{4}) = 4x^{3}$ होता है।अवकलन के रैखिकता गुणधर्म के अनुसार:$\frac{d}{dx}(x^{3} + x^{4}) = \frac{d}{dx}(x^{3}) + \frac{d}{dx}(x^{4}) = 3x^{2} + 4x^{3}$।अतः,$3x^{2} + 4x^{3}$ का एक प्रति-अवकलज $x^{3} + x^{4}$ है।

निरीक्षण विधि का उपयोग करके निम्नलिखित फलन के लिए एक प्रति-अवकलज (anti-derivative) ज्ञात कीजिए:
$3x^{2} + 4x^{3}$

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$\int \frac{1}{\sqrt{4x-x^2}} dx = $ . . . . . . $+ c$.

यदि $\int \sqrt{1 + \sin x} \, dx = -4 \cos(ax + b) + c$ है, तो $a$ और $b$ के मान क्रमशः हैं:

$\int {\frac{{\cos 2x + 2{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}dx} = $

यदि $f(x) = \frac{3-8x}{3x-1}$ और $\int f(y) dy = Ay + B \log |3y-1| + C$ है, तो $\frac{A-3B}{2} =$

$\int \frac{dx}{\tan x + \cot x} = $

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निरीक्षण विधि का उपयोग करके निम्नलिखित फलन के लिए एक प्रति-अवकलज (anti-derivative) ज्ञात कीजिए:$3x^{2} + 4x^{3}$