જો $n \in N$ હોય,તો ${7^{2n}} + {2^{3n - 3}} \cdot {3^{n - 1}}$ હંમેશા કોના વડે વિભાજ્ય છે?

$3^{2022}$ ને $5$ વડે ભાગતા મળતી શેષ કેટલી થાય?

નીચે બે વિધાનો આપેલા છે:
વિધાન $I$: $25^{13} + 20^{13} + 8^{13} + 3^{13}$ એ $7$ વડે વિભાજ્ય છે.
વિધાન $II$: $(7 + 4\sqrt{3})^{25}$ નો પૂર્ણાંક ભાગ એક એકી સંખ્યા છે.
ઉપરોક્ત વિધાનોના પ્રકાશમાં, નીચે આપેલા વિકલ્પોમાંથી સાચો જવાબ પસંદ કરો:

સરવાળો $1! + 4! + 7! + 10! + 12! + 13! + 15! + 16! + 17!$ એ નીચેનામાંથી કોના વડે વિભાજ્ય છે?

પદાવલિ ${10^n} + 3 \times {4^{n + 2}} + 5$ એ તમામ $n \in N$ માટે નીચેનામાંથી કોના વડે વિભાજ્ય છે?

બધા $n \in N$ માટે,જો $n(n^2+3)$ એ $k$ વડે વિભાજ્ય હોય,તો $k$ ની મહત્તમ કિંમત શું છે?