यदि $\vec{a} = \lambda x \hat{i} + y \hat{j} + 4z \hat{k}$,$\vec{b} = y \hat{i} + x \hat{j} + 3y \hat{k}$,और $\vec{c} = -z \hat{i} - 2z \hat{j} - (\lambda + 1) \hat{k}$ त्रिभुज $ABC$ की भुजाएँ हैं,जहाँ $x, y, z$ सभी शून्य नहीं हैं,और $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ है,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b}=2\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{d}=\vec{a} \times \vec{b}$ है। यदि $\vec{c}$ एक ऐसा सदिश है कि $\vec{a} \cdot \vec{c}=|\vec{c}|$,$|\vec{c}-2\vec{a}|^2=8$ और $\vec{d}$ तथा $\vec{c}$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{4}$ है,तो $|10-3\vec{b} \cdot \vec{c}|+|\vec{d} \times \vec{c}|^2$ का मान . . . . . . है।

मान लीजिए $\vec{w}=\hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$,और $\vec{u}$ तथा $\vec{v}$ दो सदिश इस प्रकार हैं कि $\vec{u} \times \vec{v}=\vec{w}$ और $\vec{v} \times \vec{w}=\vec{u}$। मान लीजिए $\alpha, \beta, \gamma$ और $t$ वास्तविक संख्याएँ हैं जैसे कि $\vec{u}=\alpha \hat{i}+\beta \hat{j}+\gamma \hat{k}$,$-t \alpha+\beta+\gamma=0$,$\alpha-t \beta+\gamma=0$,और $\alpha+\beta-t \gamma=0$। List-$I$ की प्रत्येक प्रविष्टि का List-$II$ की सही प्रविष्टि से मिलान करें और सही विकल्प चुनें।

List-$I$	List-$II$
$(P)$ $|\vec{v}|^2$ बराबर है	$(1)$ $0$
$(Q)$ यदि $\alpha=\sqrt{3}$,तो $\gamma^2$ बराबर है	$(2)$ $1$
$(R)$ यदि $\alpha=\sqrt{3}$,तो $(\beta+\gamma)^2$ बराबर है	$(3)$ $2$
$(S)$ यदि $\alpha=\sqrt{2}$,तो $t+3$ बराबर है	$(4)$ $3$
	$(5)$ $5$

मान लीजिए $\triangle PQR$ एक त्रिभुज है। मान लीजिए $\vec{a}=\overline{QR}, \vec{b}=\overline{RP}$ और $\vec{c}=\overline{PQ}$ है। यदि $|\vec{a}|=12, |\vec{b}|=4\sqrt{3}$ और $\vec{b} \cdot \vec{c}=24$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा (से) सत्य है (हैं)?
$(A) \frac{|\vec{c}|^2}{2}-|\vec{a}|=12$
$(B) \frac{|\vec{c}|^2}{2}+|\vec{a}|=30$
$(C) |\vec{a} \times \vec{b}+\vec{c} \times \vec{a}|=48\sqrt{3}$
$(D) \vec{a} \cdot \vec{b}=-72$

त्रिभुज $ABC$ में बिंदु $D, E, F$ भुजाओं $BC, CA$ और $AB$ को क्रमशः $1:4, 3:2$ और $3:7$ के अनुपात में विभाजित करते हैं और बिंदु $K$ भुजा $AB$ को $1:3$ के अनुपात में विभाजित करता है,तो $(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BE} + \overrightarrow{CF}) : \overrightarrow{CK}$ का मान क्या है?

मान लीजिए कि $A$ और $B$ दो बिंदु हैं। $A$ का स्थिति सदिश $6b - 2a$ है। बिंदु $P$ रेखाखंड $AB$ को $1 : 2$ के अनुपात में विभाजित करता है। यदि $a - b$,$P$ का स्थिति सदिश है,तो $B$ का स्थिति सदिश क्या है?