यदि $A \equiv (1, -1, 0)$,$B \equiv (0, 1, -1)$,और $C \equiv (-1, 0, 1)$ है,तो वह इकाई सदिश $\overline{d}$ ज्ञात कीजिए ताकि $\overline{a}$ और $\overline{d}$ लंबवत हों और $\overline{b}, \overline{c}, \overline{d}$ समतलीय हों।

यदि वे बिंदु जिनके स्थिति सदिश $3i - 2j - k,$ $2i + 3j - 4k,$ $-i + j + 2k,$ और $4i + 5j + \lambda k$ हैं,एक ही समतल में स्थित हैं,तो $\lambda = $

$x$ का वह मान जिसके लिए सदिशों $\vec{a} = \hat{i} + x\hat{j} + \hat{k}$, $\vec{b} = \hat{j} + x\hat{k}$, और $\vec{c} = x\hat{i} + \hat{k}$ द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन न्यूनतम है, है

मान लीजिए $\vec{a} = (a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k})$, $\vec{b} = (b_1\hat{i} + b_2\hat{j} + b_3\hat{k})$, और $\vec{c} = (c_1\hat{i} + c_2\hat{j} + c_3\hat{k})$ तीन शून्येतर सदिश इस प्रकार हैं कि $\vec{a}$, $\vec{b}$ और $\vec{c}$ दोनों के लंबवत एक इकाई सदिश है। यदि $\vec{b}$ और $\vec{c}$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{3}$ है, तो $\left| \begin{matrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{matrix} \right|^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

$a$, $b$ और $c$ दोनों के लंबवत है। $b$ और $c$ के बीच का कोण $\frac{2 \pi}{3}$ है। यदि $|a|=2$, $|b|=3$, और $|c|=4$ है, तो $c \cdot (a \times b)$ का मान ज्ञात कीजिए। ($\sqrt{3}$ में)

सदिशों $\vec{a} + \vec{b}, \vec{b} + \vec{c}$ और $\vec{c} + \vec{a}$ द्वारा निर्धारित समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन $4$ है। तब सदिशों $\vec{a} \times \vec{b}, \vec{b} \times \vec{c}$ और $\vec{c} \times \vec{a}$ द्वारा निर्धारित समांतर षट्फलक का आयतन क्या होगा?