જો $a > 0$ અને $ax^2 + 2bx + c$ નો વિવેચક (discriminant) ઋણ હોય,તો $\left| \begin{array}{ccc} a & b & ax + b \\ b & c & bx + c \\ ax + b & bx + c & 0 \end{array} \right|$ શું છે?

જો $P = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}$,$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ અને $Q = PAP^T$ હોય,તો $P^T(Q^{2005})P$ ની કિંમત શોધો.

મેટ્રિક્સ સમીકરણ $X^2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$ ના ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

$A$ અને $B$ એ બે $3 \times 3$ નોન-સિંગ્યુલર શ્રેણિકો છે જેથી $\operatorname{adj} A = |A| B$ થાય. જો $\operatorname{tr}(X)$ એ ચોરસ શ્રેણિક $X$ નો ટ્રેસ દર્શાવે અને $C = \begin{bmatrix} 4 & 4 & 7 \\ 3 & -2 & 5 \\ -2 & 3 & 6 \end{bmatrix}$ હોય, તો $\sum_{k=1}^{\infty} \operatorname{tr}\left(\frac{1}{3^k}(A B)^k C\right)$ ની કિંમત શોધો.

ક્રમ $3$ ના વાસ્તવિક ચોરસ શ્રેણિકોના ગણ પર નીચેનો સંબંધ $R$ ધ્યાનમાં લો. $R = \{(A,B) | A = P^{-1}BP \text{ કોઈ વ્યસ્ત શ્રેણિક } P \text{ માટે }\}$.
\textbf{વિધાન-$1$:} $R$ એ સામ્ય સંબંધ છે.
\textbf{વિધાન-$2$:} કોઈપણ બે વ્યસ્ત શ્રેણિકો $3 \times 3$ શ્રેણિકો $M$ અને $N$ માટે,$(MN)^{-1} = N^{-1}M^{-1}$.

ધારો કે $M$ એ વાસ્તવિક ઘટકો ધરાવતો $3 \times 3$ વ્યસ્ત શ્રેણિક છે અને $I$ એ $3 \times 3$ એકમ શ્રેણિક છે. જો $M^{-1} = \operatorname{adj}(\operatorname{adj} M)$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન/વિધાનો $ALWAYS \text{ } TRUE$ છે?