यदि $A$ एक विषम-सममित आव्यूह (skew-symmetric matrix) है और $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है,तो $A^n$ है

मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 1 & a & a \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$,जहाँ $a, b \in \mathbb{R}$ है। यदि किसी $n \in \mathbb{N}$ के लिए,$A^n = \begin{bmatrix} 1 & 48 & 2160 \\ 0 & 1 & 96 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ है,तो $n + a + b$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि ${\Delta _r} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} r&{2r - 1}&{3r - 2} \\ {\frac{n}{2}}&{n - 1}&a \\ {\frac{1}{2}n\left( {n - 1} \right)}&{{{\left( {n - 1} \right)}^2}}&{\frac{1}{2}\left( {n - 1} \right)\left( {3n - 4} \right)} \end{array}} \right|$ है,तो $\sum\limits_{r = 1}^{n - 1} {{\Delta _r}} $ का मान:

यदि $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -2 & -5 \end{bmatrix}$ और कुछ $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ के लिए $\alpha A^2 + \beta A = 2I$ है,तो $\alpha + \beta =$

यदि $\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3-\lambda \\ 0 & -1-\lambda & 2 \\ 1-\lambda & 1 & 3\end{array}\right|=A \lambda^3+B \lambda^2+C \lambda+D$ है, तो $D+A=$

मान लीजिए $A$ वास्तविक प्रविष्टियों वाला एक $2 \times 2$ आव्यूह है। मान लीजिए $I$ एक $2 \times 2$ तत्समक आव्यूह है। $tr(A)$ को $A$ की विकर्ण प्रविष्टियों का योग कहें। मान लीजिए $A^2 = I$ है।
कथन-$1$: यदि $A \neq I$ और $A \neq -I$ है,तो $\det(A) = -1$ है।
कथन-$2$: यदि $A \neq I$ और $A \neq -I$ है,तो $tr(A) \neq 0$ है।