मान लीजिए A = begin{bmatrix} 1 & a & a 0 & 1 | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए $A = I + B$,जहाँ $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 0 & a & a \ 0 & 0 & b

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$24$

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(A) मान लीजिए $A = I + B$,जहाँ $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 0 & a & a \ 0 & 0 & b \ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ है।$B^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & ab \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ और $B^3 = 0$ प्राप्त होता है।द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$A^n = (I + B)^n = I + nB + \frac{n(n-1)}{2} B^2$.$A^n = \begin{bmatrix} 1 & na & na + \frac{n(n-1)ab}{2} \ 0 & 1 & nb \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.दिए गए आव्यूह के साथ तुलना करने पर: $na = 48$,$nb = 96$,और $na + \frac{n(n-1)ab}{2} = 2160$.$na = 48$ और $nb = 96$ से $b = 2a$ प्राप्त होता है।तीसरे समीकरण में मान रखने पर: $48 + \frac{n(n-1)a(2a)}{2} = 2160 \Rightarrow n(n-1)a^2 = 2112$.$a = \frac{48}{n}$ रखने पर,$n(n-1)(\frac{48}{n})^2 = 2112 \Rightarrow (n-1) \frac{2304}{n} = 2112 \Rightarrow 192n = 2304 \Rightarrow n = 12$.अतः $a = 4$ और $b = 8$ प्राप्त होता है।इस प्रकार,$n + a + b = 12 + 4 + 8 = 24$.

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