यदि 2 sin^{-1} x = sin^{-1}(2x sqrt{1-x^2}) ह | vedclass

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Question

(C) हम जानते हैं कि $2 \sin^{-1} x = \sin^{-1}(2x \sqrt{1-x^2})$ तब सत्य होता है जब $-\frac{1}{\sqrt{2}} \le x \le \frac{1}{\sqrt{2}}$ हो।माना $x = \s

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$[\frac{-1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}]$

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(C) हम जानते हैं कि $2 \sin^{-1} x = \sin^{-1}(2x \sqrt{1-x^2})$ तब सत्य होता है जब $-\frac{1}{\sqrt{2}} \le x \le \frac{1}{\sqrt{2}}$ हो।माना $x = \sin 	heta$,जहाँ $	heta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.तब $2 \sin^{-1}(\sin 	heta) = \sin^{-1}(2 \sin 	heta \sqrt{1-\sin^2 	heta}) = \sin^{-1}(2 \sin 	heta \cos 	heta) = \sin^{-1}(\sin 2	heta)$.$2	heta = 2 \sin^{-1} x$ मान्य होने के लिए,$2	heta$ को $\sin^{-1}$ की मुख्य मान शाखा $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ में होना चाहिए।अतः,$-\frac{\pi}{2} \le 2	heta \le \frac{\pi}{2} \implies -\frac{\pi}{4} \le 	heta \le \frac{\pi}{4}$.दोनों पक्षों में साइन लेने पर,$\sin(-\frac{\pi}{4}) \le \sin 	heta \le \sin(\frac{\pi}{4})$,जिससे $-\frac{1}{\sqrt{2}} \le x \le \frac{1}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।अतः,$x \in [-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}]$।

यदि $2 \sin^{-1} x = \sin^{-1}(2x \sqrt{1-x^2})$ है,तो $x \in$ . . . . . . .

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यदि $y = \sin^{-1}(2x\sqrt{1-x^2})$ है और $-\frac{1}{\sqrt{2}} < x < \frac{1}{\sqrt{2}}$ है,तो $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात कीजिए।

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