यदि sin ^{-1}(1-x)-2 sin ^{-1} x=frac{pi}{2} | vedclass

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Question

(B) दिया गया समीकरण: $\sin ^{-1}(1-x)-2 \sin ^{-1} x=\frac{\pi}{2}$.माना $\sin ^{-1} x = 	heta$,तो $x = \sin 	heta$. जहाँ $x \in [-1, 1]$,इसलिए $	h

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(B) दिया गया समीकरण: $\sin ^{-1}(1-x)-2 \sin ^{-1} x=\frac{\pi}{2}$.माना $\sin ^{-1} x = 	heta$,तो $x = \sin 	heta$. जहाँ $x \in [-1, 1]$,इसलिए $	heta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.समीकरण इस प्रकार होगा: $\sin ^{-1}(1-x) = \frac{\pi}{2} + 2	heta$.दोनों तरफ $\sin$ लेने पर: $1-x = \sin(\frac{\pi}{2} + 2	heta) = \cos(2	heta)$.सर्वसमिका $\cos(2	heta) = 1 - 2\sin^2 	heta$ का उपयोग करने पर,हमें $1-x = 1 - 2x^2$ प्राप्त होता है।इसे सरल करने पर $2x^2 - x = 0$,जिसका अर्थ है $x(2x-1) = 0$.अतः,$x = 0$ या $x = \frac{1}{2}$.$x = 0$ की जाँच करने पर: $\sin^{-1}(1) - 2\sin^{-1}(0) = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$. यह एक हल है।$x = \frac{1}{2}$ की जाँच करने पर: $\sin^{-1}(1-\frac{1}{2}) - 2\sin^{-1}(\frac{1}{2}) = \sin^{-1}(\frac{1}{2}) - 2(\frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{6} 
eq \frac{\pi}{2}$.इसलिए,केवल $x = 0$ ही सही हल है।

यदि $\sin ^{-1}(1-x)-2 \sin ^{-1} x=\frac{\pi}{2}$ है,तो $x=$ . . . . . . .

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मान लीजिए $f(x) = \cos \left(2 \tan ^{-1} \sin \left(\cot ^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{x}}\right)\right)$,$0 < x < 1$ के लिए। तो :

$\mathop {Limit}\limits_{x \to \infty } \,\frac{{{{\cot }^{ - 1}}\left( {\sqrt {x + 1} \, - \,\sqrt x } \right)}}{{{{\sec }^{ - 1}}\left\{ {{{\left( {\frac{{2x + 1}}{{x - 1}}} \right)}^x}} \right\}}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$x \in[-1,1]$ के लिए समीकरण $\sin ^{-1}\left[x^{2}+\frac{1}{3}\right]+\cos ^{-1}\left[x^{2}-\frac{2}{3}\right]=x^{2}$ के हलों की संख्या ज्ञात कीजिए,जहाँ $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन है।

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के मुख्य मानों को ध्यान में रखते हुए,समुच्चय $\{x \geq 0 : \tan^{-1}(2x) + \tan^{-1}(3x) = \frac{\pi}{4}\}$

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