यदि $y = (\cos^{-1} x)^2$ है,तो $(1-x^2) y_2 + p x y_1 + q = 0$ है। $p+q$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $y = \sin^2 \alpha + \cos^2(\alpha + \beta) + 2 \sin \alpha \sin \beta \cos(\alpha + \beta)$ है,तो $\frac{d^3y}{d\alpha^3}$ ज्ञात कीजिए (जहाँ $\beta$ एक स्थिरांक है)।

यदि $y=\sin ^{-1} x$ है,तो सिद्ध कीजिए कि $\left(1-x^{2}\right) \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-x \frac{d y}{d x}=0$.

यदि $y=3 e^{2 x}+2 e^{3 x}$ है,तो सिद्ध कीजिए कि $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-5 \frac{d y}{d x}+6 y=0$.

यदि $y=500 e^{7 x}+600 e^{-7 x}$ है,तो दर्शाइए कि $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=49 y$.

यदि $y = a \cos (\ln x) + b \sin (\ln x)$ है,तो $x^2 \frac{d^2y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx}$ का मान ज्ञात कीजिए।