यदि $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} \cos x & 1 & 0 \\ 0 & 2 \cos x & 3 \\ 0 & 1 & 2 \cos x \end{array} \right|$ है,तो $\lim_{x \rightarrow \pi} f(x)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} \cos(x+a+b) & \sin(x+a+b) & 10 \\ \cos(x+b+c) & \sin(x+b+c) & 10 \\ \cos(x+c+a) & \sin(x+c+a) & 10 \end{array} \right|$ है,तो $f(2019)^{f(2020)} - f(2020)^{f(2019)}$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक आव्यूह $A$ में,यदि $k$ कोटि के सभी उप-आव्यूह अव्युत्क्रमणीय (singular) हैं और $r$ $(r < k)$ कोटि का कम से कम एक व्युत्क्रमणीय (non-singular) उप-आव्यूह मौजूद है,तो आव्यूह $A$ की कोटि $(\rho)$:

यदि $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} x^3 - x & a + x & b + x \\ x - a & x^2 - x & c + x \\ x - b & x - c & 0 \end{array} \right|$ है,तो:

मान लीजिए $A=\left[\begin{array}{rrr}-1 & -2 & -3 \\ 3 & 4 & 5 \\ 4 & 5 & 6\end{array}\right]$,$B=\left[\begin{array}{rr}1 & -2 \\ -1 & 2\end{array}\right]$ और $C=\left[\begin{array}{rrr}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]$ है। यदि $a, b$ और $c$ क्रमशः $A, B$ और $C$ की कोटि (rank) को दर्शाते हैं,तो इन संख्याओं का सही क्रम क्या है?

यदि $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} \cos x & x & 1 \\ 2 \sin x & x^2 & 2x \\ \tan x & x & 1 \end{array} \right|$ है,तो $x = 0$ पर $f'(x)$ का मान क्या होगा?