જો $A = \begin{vmatrix} x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \end{vmatrix}$ અને $B = \begin{vmatrix} x & 1 \\ 1 & x \end{vmatrix}$ હોય,તો $\frac{dA}{dx}$ ની કિંમત શોધો.

જો $\left| \begin{array}{ccc} 1 + ax & 1 + bx & 1 + cx \\ 1 + a_1x & 1 + b_1x & 1 + c_1x \\ 1 + a_2x & 1 + b_2x & 1 + c_2x \end{array} \right| = A_0 + A_1x + A_2x^2 + A_3x^3$ હોય,તો $A_1$ ની કિંમત શોધો.

એક શ્રેણિક $A$ માં,જો $k$ કક્ષાના તમામ ઉપ-શ્રેણિકો અસામાન્ય (singular) હોય અને $r$ $(r < k)$ કક્ષાનો એક અસામાન્ય ન હોય તેવો (non-singular) ઉપ-શ્રેણિક અસ્તિત્વ ધરાવતો હોય,તો શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક $(\rho)$:

શ્રેણિક $\begin{bmatrix} -1 & 2 & 5 \\ 2 & -4 & a - 4 \\ 1 & -2 & a + 1 \end{bmatrix}$ નો નિશ્ચાયક (rank) શું છે?

જો $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} \cos x & x & 1 \\ 2 \sin x & x^2 & 2x \\ \tan x & x & 1 \end{array} \right|$ હોય,તો $x = 0$ આગળ $f'(x)$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?

$AX=O$ દ્વારા દર્શાવેલ ત્રણ અજ્ઞાત ધરાવતી ત્રણ સુરેખ સમીકરણોની સમાંગ પ્રણાલી ધ્યાનમાં લો. જો $X=\left[\begin{array}{c}l \\ m \\ 0\end{array}\right]$, જ્યાં $l \neq 0, m \neq 0, l, m \in \mathbb{R}$, આ પ્રણાલીના અનંત ઉકેલો દર્શાવે છે, તો $A$ નો શ્રેણીક (rank) કેટલો હશે?